Problème. — Itésoudre l'équation

(1) algx + bcotga: = c.

Prenons tgx comme inconnue. L'équation s'écrit, alors

(2) «tg^^-clgx + 6 = 0,

qui est une équation du second degré en tgx.

Discussion, — Pour que l'équation (1) ait des solutions, il faut et il suffit que réqnatiori (2) admette des racines en tgx. Il faut donc avoir :

Ceci suffit, puisque la tangente peut prendre toutes les valeurs possibles.

Résolution. — ■ La condition (3) étant remplie on a, pour Ig x, deux valeurs :

yGoosle

ÉyUATlONS ÏUIGOiNUMÉTRIQlJES A UNE INCONNUE. 15T

Calculons, au moyen des lafiles, deux angles a et p tels que l'on

-Aab

'ia

'-Jab

Tous les angles a; cherchés ayant même tangente que Taiigle a ou que l'angle p, on a deux groupes de solutions :

\ X =■ ISOk -\- «, ' x = '180A-+fi.

Pour faire le calcul effectif, on rendra les formules (4) calculables par logarithmes et, pour cela, il suffira d'appliquer ce que nous avons dit (n° 125) pour l'équation générale du second degré.

129. — Les deux problèmes précédents nous ont fourni des exemples d'application de la méthode générale. Mais, déjà pour le premier, nous avons donné une méthode spéciale qui est plus simple. Le problème suivant nous en donnera un nouvel exemple.

Prohlème. — Riisoudm Véqualion.

jl) sin;):c == sin qx,

OM p et q sont deux nombres donnés.

L'égaiité (1) exprime que les deux angles ^3x et qx ont môme sinus. Il en résulte que l'un d'eux, px par exemple, est soit congru à l'autre qx, soit congru au supplément de cet autre (n" 47). Tous les angles a; cherchés vérifient donc l'une ou l'autre des deux égalités suivantes :

ou px==mO/i + iSO — qx.

Si p est différent de (/, on a deux groupes de solutions :

Si p = g, la première relation ne donne plus de solution, car elle

158 LEÇO?iS DE TllIG0.\01!ÉTit[li;.

ne peut avoir lieu que pour k ^ et il n'y a plus qu'un groupe de solutions :

— ^^0^*^ + 'J^*> IHOA + m ■^ ~ 2p ~ p

Remarquk I. — On traiterail de la même façon les équations cospa; == cosi/jr, Igpx = tgqx.

L'équaLion

CQspx = sin qx

prendrait la forme l'I) on l'écrivant :

sin (90 — px) = sin qx;

et, par suite, se résoudrait par le même procédé.

Remarque II. — Lorsque ju et (/ sont entiers, on peut appliquer la méthode générale. On peut, en effet, exprimer sin px et cos qx (n" 84) au moyen de sin x et on a, alors, une équation en sinx. Mais, cette manière de procéder serait souvent fort compliquée. Cependant, en la rapprochant de la méthode précédente, on en tire des conclusions intéressantes, car on a ainsi des équations, de degrés élevés, en sin x, dont on connaît d'avance les solutions.

Ainsi, considérons le système

(2) sin 5a: = sin Sa^.

On a (n" 84) :

sin 3 a- =; 3sinœ — 4 sin'a:.

On trouve de même, en appliquant la méthode du n" 84,

sin 5a: = 5 sin a: — 20 sin'a: -[- 10 sin^a^. L'équation devient alors :

o sin X — 20 sin^a: + 16 tihi'x = 3 sin x — 4 siuV, ou :

SLii X ri6 sin^x — 16 sin^a: -|- 2 j = 0.

Les sinus des angles cherchés vérifient donc soit l'équation

(3) 8[ni = 0, soit

(4) 8sin'» — 8sîn"i+ 1 = 0,

ÉQOATIONS TRIGONOMÊTRIQUES A UNE I^COSNUE. 159

D'auti'e part, la méthode que nous avons exposée nous apprend que touicslcs solutions de l'équation (2) sont données par les deux égalifés :

X r-'lSO^,

Le premier groupe correspond à l'équalion (3) et le second groupe à l'équation (4). On en conclut que les quatre racines de l'équation (4) sont :

■ 1 ," . 3,,,„ . S .„^ , . 7,„^ ëin-io", sm - 45°, Sin-4,i" el sm - 40";

c'est-à-dire, en mesurant les angles avec les îongucurs d'arcs,

» TT - sm - .

Ce serait wn moyen détourné d'avoir les valeurs de ces quatrt sinus.

EXERCICES

■sax + &it,3x =

s,éex,

. - 9 cos 2a

tg(«-,r)-

. + a Cûs 2n

sin X — sin 7j