U SI
nt donc liieu couju-
181. Module. — Rappelons la définition du module d'une imaginaire : Le module de l'imaginaire a-\-hi est \/«^ + t^, le radical ayant sa siKniltcalioLi arithmétique. Le module est une quantité essentiellement réelle et positive.
Théorème. — Bans la représentation géométrique, le module d'une imaginaire est la distance de son point représentatif à l'origine des coordonnées.
Soit, en effet, M {^g. S3) le point dont a -\- bi est l'allise. On a évidem-
0M = v/(i2+ 6^= \a + bi\ .
lotatlon I rt -L &( I représente le module de a-\- II).
182. Ai-SHineiit. — I,a représenta lion fjdométriqne des quanlilés complexes nous permel d'introduire nne notion nouvelle, celle de Varg liment.
Soit M le point (fig. 52) dont n-f Mest l'aflixe. On appelle argument de la quanU'té a + bi l'un des angles dont il faut f'iirc tourner la direction positive ox pour l'amener à coindder avec la direction du vecleiir (OM). En d'autres termes, l'argument est l'une des déterminations de l'angle ox,Om.. — U résulte, Jnimédiatemeiil, de cette définilion que l'argument n'est défini qu'à, un indltiple de Sn près (en prenant comme unité d'angle celui qui correspond k l'arc Égal au rayon). Si donc a est l'un des nrguments d'une quantité complexe, tous les autres sont congrus à a et sont donnés par la formule
o. -\- Un,
Ofi /( est un nombre enlier positif ou négatif. La définition précédente donne lieu aux remarques suivantes : 1° Vargnment d'une quantité réelle et positive est congru à séro. Car l'un de ces arguments est l'angle de ox avec lui-mSnte.
2° L'argument d'une quantité réelle et négative est congru à r. Car une quantité réelle et néj;ative est représentée par nn point de ox' et on a
3° L'argument 'lune quantité de la foifnc bi est congru à -f- ~ ou à — suivant que h est positif ou négatif. Car, si b est positif, bi est l'affise d'à point de oy, et
oœ,oy i:^ -]■- 5' Si 6 est négatif, bi est l'affixe d'un point de oy', et
4° les arguments de deua! quaiUttés égales et de signes contraires différent d'un multiple impair de x. Car deux quantités égales et de signes contraires sont les afiixes de deux points M et Mi symétriques par rapport à o l^g. I>2), et on a évidemment {n°23) :
oœ,m, — ox,m s: ûM,oM, =: t:.
S° Les argumenU de deuco quantités conjuguées sont congrus et de signes contraires. Car deux quantités conjuguées sont représentées par doux points M et M' symétriques par rapport à ox; on a donc
S50 LEÇ.ÛHS DE TlilGO.NOMÉTllIE.
1S3. F«i-uic tflg:onoiuéti'l(|iic <Ic« liiiaeiiinlrcs.
Théorème. ~ Toute qmniUO complexe ]>eut Être mise soxis la forme
(1) p (cos « -i- i sin a),
F étant son module et a son argumcnl.
RÊciiiroquement^ lorsqu'une quantité complexe a la forme (1), p i^tanl ii quantilé positive, son module est égal à p et son argwneiU est congru à i.
Soit a -f bi une quantité complexe qui est {fig. Si) l'afllxe du point S p ôtant son module et a son argument, on a :
P = oM, a :h: ox,oiS.
Projetons îa vecteur (oM), orlliogonulement, sur ox et oij, nous aurons
P (cos a f i
sin a).
Becipro^iwmcnt, supposons qu it un nombre positif, on en cou
e nous ayons iclut :
l'égalité
, dan
(3, Il
] sHi a Z &';
'où, en faisant la sommo des Ci
irrés des deiis
: membi
■es.
Comme p est une quanlitê po;
litive, ceci exi
ge que 1
on
ait :
le radical aj'ant son sens aritlimétiqne.
Ceci posé, soit M !e point représentatif de a -\- bi, il l'ésulte de ce qii( nous venons de dire que
On a, en pro.jelant (oM) s
/ il = p cos (oa:,oM), U = p sin {ox/M).
!nt des égalités (:i) et (o), on conclut :
cos a = cos (oaijOM), sin » = sin (''^,M].
yGoosle
Les deux angles a et i
