Nous nous servirons ici de l'égalité

(a'*— ft')=:(a»-f-fl&-f-&*) (a — b),

que l'on vérifiera aisément en effectuant la multiplication ; on en déduit

Dans cette égalité remplaçons a eib paiv^lî et J/a'; il vient

\Ja — \la' =

On a de même

Si donc on appelle et l'erreur commise sur le nombre approché et e l'erreur commise sur la racine cubique, on a, dans tous les cas,

Veneur commise sur la racine cubique d^un nombre appro^ ché est plus petite que V erreur commise sur le nombre^ divisée par trois fois le carré de la racine cubique de ce nombre pmpar déjauté

55C LiVHE Vil. — dIAIITUE V.

ERnEURS RELATlVrS.

373. L*erreur ab&ohie commise sur un nombre est ce qu'il faudrait y ajouter ou en retrancher pour avoir le nombre exact.

L'erreur relative est Terreur absolue divisée par le nombre lui-même.

Supposons, par exemple, que, sur une longueur de 1000 mètres, on commette une erreur de 1 mètre; en imaginant cette erreur de 1 mètre répartie uniformément sur les 1000 mètres, c'est 1 millimètre par mètre, ce qu'on exprime en disant que Terreur relative est ^hô*

Supposons maintenant que, sur une longueur de 2000 mètres, on commette une erreur de 2 mèlres ; Terreur, repartie uniformément, ne sera encore que de 1 millimètre parmèlre, ce qui constitue la môme erreur relative ^hô» Sur une longueur double on a commis une erreur absolue double; mais Terreur relative n'a pas changé. De même si, sur une longueur triple, on commet une erreur absolue trois fois plus grande, Terreur relative reste encore la même.

C'est par Terreur relative qu'il faut juger du degré d'approximation avec lequel on mesure les grandeurs. 11 est clair en effet qu'une erreur de 1 décimètre sur une grande longueur, comme la dislance de deux villes, est tout à fait négligeable, tandis qu'elle est très-sensible sur une petite longueur, comme celle d'une table. Si, par exemple, on a commis une erreur de 1 mètre sur une longueur de 100 mèlres, et une erreur de 10 mètres sur une longueur de 10000 mètres, on doit regarder la seconde mesure comme plus exacte que la première, quoique Terreur absolue soit plus grande. Car, dans le premier cas. Terreur est de 1 centimètre par mètre, tandis que, dans te second cas, elle n'est que de 1 millimètic par mètre.

374. Il existe une relation très-simple entre Terreur relative d*un nombre approché et le nombre des chiffres" exacts qui le composent. Soit le nombre 62,85 approché à moins d'un

cenlième, et par conséquent formé de quatre cliiffrcs exacts. Si nous déplaçons la virgule de manière à n'avoir qu'un chiffre à la partie enlière, nous aurons le nombre 6,285 approché à

moins d'un millième.

L'erreur absolue esl ici moindre que j|:j^ et l'erreur relative

moindre que ^ — r^r,, puisque le nombre est plus grand que G.

On dira plus simplement que Verreur relative est moindre que

jTTT, c'est-à-dire qu'une unité décimale du troisième ordre.

De même, soit le nombre 0,267455 approché à moins de 1

millionième, et par conséquent formé de six chiffres exacts.

En déplaçant la virgule on a le nombre 2,67455 approché à

moins de^jv^. L'erreur relative est ici plus petite que^ — rm'-

on dira plus simplement qu'elle est plus petite que 7^, c'està-dire qu'une unité décimale du cinquième ordre. En général, si le nombre contient n chiffres exacts, et si

l'on désigne par fc le premier chiffre de gauche, on verra que

Terreur relative est moindre que r — 77s=i- On dira plus sim-

plement qu'elle est moindre que ttâ^iti- Ainsi, ï erreur relative

est toujours moindre qu^une unité décimale de V ordre marqué par le nombre des chiffres exacts moins un.

375. La considération des erreurs relatives permet dénoncer d'une manière approximative et rapide l'erreur commise dans le résultat d'opérations etîectuées sur des nombres approchés.

Soient a et & les valeurs exactes des deux facteurs d'un produit; appelons a+a et 6-+-P les valeurs approchées, les quantités a et ^ étant positives ou négatives, suivant que les facteurs sont approchés par excès ou par défaut. On a d'une manière générale

358 LIVRE VII. — CHAPITRE Yv

la différence entre le produit approché (a-f-a) (ft-f-p) et le produit exact ab csl donc

Si Ton néglige le terme ap, qui est très-petit par rapport à chacun des deux autres, cette différence sera à peu près égale à

Divisons maintenant cette différence par le produit exact ah pour avoir Terreur relative ; nous aurons

Ainsi, r erreur relative d'un produit de deux facteurs approchés est sensiblement égale à la somme des erreurs relatives des deux facteurà.

Si les deux facteurs étaient approchés, l'un par défaut, l'autre par excès, l'erreur relative du produit serait sensiblement égale à la différence des erreurs relatives des facteurs.

Celle proposition peut être éteodue évidemment au produit d'un nombre quelconque de facteurs approchés; car, en multipliant par un nouveau facteur, on ajoute Terreur relative de ce facteur.

Le carré étant le produit de deux facteurs égaux, on en déduit que Terreur relative du carré d'un nombre approché est sensiblement égale à deux fois l erreur de ce nombre.

De même, f erreur relative du cube d^un nombre approché est seiisiblement égale à trois fois Terreur relative de ce nombre.

376. Si Ton considère le dividende comme le produit du diviseur par le quotient, on voit que Terreur relative du dividende est sensiblement égale à Terreur relative du diviseur augmentée ou diminuée de celle du quotient. Il en résulte que Terreur relative du quotient est sensiblement égale à Terreur relative du dividende, diminuée ou augmentée de celle du diviseur, suivant que les deux nombres sont approchés dans le même sens ou en sens contraires. En se plaçant dans le cas le

CALCL'LS D'APPROXIMATION. 559

plus défavorable, on évaluera Verreur relative du quotient en prenant la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

L'erreur relative du carré d'un nombre approché élarîl scrsiblomenl égale au doublb de l'erreur relative du nombre luimcme, il en résulte que Verreur relative de la racine carrée rf'w/i nombre approché est sensiblement égale à la moitié de Verreur relative du nombre.

De mCme, Verreur relative de la racine cubique d'un nombre approché est sensiblement égale au tiers de Verreur relative du nombre.

Voici deux exemples qui feront comprendre Tulilité de ces propositions sur les erreurs relatives.

Exemple I. Calculer y (l + v^2) x (y' 5— 2) avec une cr-

reur relative moindre que ïqâââ ou que t^.

11 s'agit d'effectuer le produit des deux facteurs approchés

1 4-^2^01 \/5^— 2 et d'extraire la racine carrée de ce produit. Si Ton calcule chaque facteur avec une erreur relative moindre

que jjv;, l'erreur relative du produit sera moindre que j^;

celle de la racine deux fois plus petite, soit ™j. 11 suffit donc

de calculer chaque facteur avec cinq chiffres exacts.

vTS =2,23607 /5 — 2 = 0,23607

uni (i + >/2)x(5-\/71)x(i5^vl)

LXEMPLE 11. Calculer ; — ;zrr ; -=\ -

avec une erreur relative moindre que ^rp.

Il entre dans le calcul cinq facteurs approches, el Ton sait

que rerreur relative du résultat, dans le cas le plus défavorable, celui où toutes les erreurs s'ajoutent, est scnsiblcnîcit ogale à la somme des cinq erreurs relatives. Si Ton obtient

chaque facteur avec une erreur relative moindre que t^, on

aura le résultat avec une erreur relative moindre que yrrr, et

par conséquent moindre que -^,. On calculera donc cbaque

facteur avec quatre cliifTres exacts.

(t + /2)x(3-Vr75)x(l5~>v/5)

; -T— — — =o,uyut,