PRODDIT DE PLUSIEURS FACTEURS APPROCHÉS

366. La règle que nous avons donnée pour évaluer Terreur commise sur le produit de deux facteurs approchés peut être étendue à un nombre quelconque de facteurs. Soient a^b^e trois facteurs, a'', 6", c" des valeurs approchées par excès, a, p, Y les erreurs commises sur ces trois facteurs, quand on les prend par défaut ou par excès. Nous avons vu que Terreur commise sur le produit axb est moindre que fc^aH-fl^p. De même. Terreur commise sur le produit abxc de deux facteurs est moindre que

ou que

b'V'a4-aVp-f-a"^"7.

Et ainsi de suite. On en conclut que V erreur commise sur le produit de plusieurs facteurs approchés est moindre que la somme des produits que Von obtient en multipliant Terreur de chaque facteur par le produit de tous les autres facteurs pris par excès,

CUBE D*UIi NOMBRE APPROCHÉ.

367. Lorsque les trois facteurs a, 6, c sont égaux, le produit abc devient le cube a*, et Terreur commise est moindre

556 LIVRE VII. - ClIAPiTUE V.

que 5a"a. Ainsi Vevrenr commise sur le cube (Pun nombre approché est moindre que l'erreur commise sur le nombre multipliée par trois fois le carré de ce nombre pris par excès.

Division.

QCOTIE^T d'un nombre approché par un koudre exact.

368. Lorsque le dividende est approché, le diviseur exact, il est clair que Terreur commise sur le quotient est égale à Terreur commise sur le dividende divisée par le diviseur.

Soit par exemple à diviser le nombre 3254,6. approché à

moins d'un dixième, par le nombre exact 235. L'erreur com-

mise sur le quotient sera moindre que^^, et par conséquent

plus petite que 0,0005. La division donne 13,8493; lequo- (ient exact est compris entre 13,8488 et 1 3,8499 ; on prendra 13,849 à moins d*un millième près.

QUOTIENT d'UiN NOMBRE EXACT PAR UN NOMBRE APPROCHE.

369. Considérons, en second lieu, le cas où le dividende est exact, le diviseur approché. Appelons a le dividende, b le diviseur compris entre les deux valeurs 6' et b" approchées, la première par défaut, la seconde par excès. Prenons d*abord la valeur V approchée par défaut, et posons 6 = &'-f-p, on a

Si Ton prend la valeur ¥ approchée par défaut, et si Ton pose 6"=fc-+-3, on a de même

a a a(y'—bl a^ np

bb'' bb'

Ainsi, dans tous les cas, l'erreur commise sur le quotient d*un nombre exact par un notnbre approché est moindre que r erreur du diviseur midtipliée par le dividende et divisée par le carré du diviseur pris par défaut ê

CAI.CUÎ-S D'APPKOXlMA'lluN. 551

Soit par exemple à diviser le nombre exacl 46,853 par le nombre 5,3672 approché par excès à moins d'un dix-millième.

L erreur commise sur le quotient est momdre que ^f »

et par conséquent moindre que 0,0002. On calculera donc le quotient à moins de 1 millième; la question revient à calculer à moins d'une unité le quotient de 46853 par 5,3072.

En opénml [ ar la métl:ocle abrùgoe, on Irouvc le quotient

entier 8729; tenant coniple du reste, nous ajouterons à ce

3 6 nombre la fraclion ' =0,6.,., ce qui donne le nombre

décimal approché 8729,6... La parlie négligée au produit du

diviseur par le quotient est moindre que (7-i-2-l-9)ou que

18 dixièmes; il faut donc relranchcr du quolientune fraction

moindre que -r-) et par conséquent moindre que 0,4. D'autre

part, le diviseur étant approché par excès, il faut ajouter une quantité moindre que 0,2. Le quotient exact sera donc com* pris entre 8729,2 et 8729,9. On prendra 8729 par défaut à moins d'une unité. Le quotient cherché est 8,729 par défaut à moins de 1 millième*

OtJOTlENT i)E DEtJX BfOtl&nES ArrROCIIES.

370. Évaluons maintenant Terreur commise sur le quotient de deux nombres approchés. Le dividende a est compris entre les deux valeurs a' et o" approchées, la première par défaut, la seconde par excès. Le diviseur h est lui-même compris entre V et V\ Nous examinerons différents cas, suivant que le

dividende et le diviseur sont approchés dans le même sens ou en sens contraires.

1** Prenons d'abord le dividende a" par excès, le diviseur V par défaut, on a

d*oii Ton déduit, en désignant par e rerrcur commise sur le quotient

2® Si Ton prend le dividende o' par défaut, le diviseur b" par excès, on a de môme

a a' ab"—ba! a(&+|3)— &(a— a) ___ fl|3-j-fr« «

flS

b y^ bb" ■" bV' "■ bV '^V'^bb'"

d'où

5^ En prenant le dividende et le diviseur par excès, on a

a" a a ap

¥~b'^VW

a a" __ ap a b fc" *" bV V '

suivant que le quotient approché est plus grand ou plus petit que le quotient exact.

i"" En prenant le dividende et le diviseur par défaut, on a de même

a a' a ap

b~V~V^W' ou

0^ a ap a

Vb'^W'V

Ainsi, quand on prend les nombres en sens contraires. Terreur commise sur le quotient est plus petite que la somme des

deux quantités j-,, -n^] quand on les prend dans le même

sens, Terreur est plus petite que la plus grande de ces deux quantités. Dans tous les cas, l'erreur est plus petite que leur somme.

Cherclions, par exemple, le quotient du nombre 2,64& approché par excusa moins de 1 millième, par le nombre i ,245 approché par défaut aussi à moins de 1 millième. L'erreur

, r ♦ » 1 .-. 0,001 . 3x0,001 commise sur le quotient est plus petite que -~ h ^ — j^-^—

ou que 0,004. Le quotient calculé est 2,126 et une fraction de millième; il faut en retrancher une quantité moindre que 0,004; lequotient exact est donc compris entre 2,122 et 2,127; on prendra 2,12 par défaut à moins d'un centième près.

Racine carrée. û

371. On demande la racine carrée d'un nombre a compris entre les deux valeurs a' et a'' approchées, la première par défaut, la seconde par excès. On a

(v/a — \/a') {\,fa-{-s/a') a— a'

f-n-/- (v^-^y/g) {s/^'-hsf^) a'' -a

sja ^a = ■=. in ;= — :»

suivant que Ton prend la valeur approchée par défaut ou la valeur approchée par excès. Dans tous le> cas, en désignant par a Terreur commise sur le nombre proposé et par e Terreur commise sur la racine, on a

Ainsi V erreur commise sur ta racine carrée d'wH nombre a,i proche est plus petite quel erreur commise sur ce nombre, dimséj par deux fois la racine carrée 4e ce nombre pris par défaut.

554 UVRE Vn. - CHAPnRE Y.

EXEMPLES

Exemple I. Eilraire la racine carrée du nombre 232,48 approché par défaut à moins de 1 centième près. L'erreur commise sur la racine sera plus petite que — '^^^=1 et par consé-

quent plus petite que ô~^-tâ ^" 9"^ 0,0005.

La racine calculée par le procédé ordinaire est 1 5,2472. . . Il faut y ajouter une quantité plus petite que 0,0005; la racine exacte est donc comprise entre 15,2472 cl 15,2478. On prendra 15,247 par défaut à moins de 1 millième près.

ExE&iPLE II. Calculer à moins de 1 millième près la racine quatrième du nombre 15943286. On sait que

Cherchons d'abord avec quelle approximation il faut calculer la première racine carrée pour avoir la seconde à moins de 0,001 . La première racine est plus grande que 3000, la seconde plus grande que 50. Sidonconappellearerreurcommisesur la première racine, l'erreur commise sur la seconde sera moindre

que X — rjx ou que j^wri il suffira donc de calculer la première

racine à moins de 1 dixième près. En extrayant la première racine, on trouve 3992,9 par défaut à moins de 1 dixième ; en extrayant la seconde on trouve 63,190 par excès. Pour avoir le résultat exact, il faut augmenter ou diminuer ce nombre d'une quantité moindre que 1 millième; on prendra donc 63,190 à moins de 1 millième près.

Exemple III. Calculer à moins de 1 millième près le rayon du cercle dont la surface est de 254 mètres carrés.

Le rayon cherché est donné par la formule

Le quotient est plus grand que 60 et le rayon plus grand

CALCULS D^ÂPPROXIMATION. 555

que 7 ; si l'on appelle a Terreur commise sur le quotient, Terreur commise sur la racine sQra moindre que j^ — = ou que

jrr. Pour avoir la racine à moins de 1 millième, il suffit donc

de calculer le quotient à moins de 1 centième. Le quotient est 80,85 par défaut à moins de 1 centième près; la racine carrée de ce nombre est 8,992 par excès. Comme il faut augmenter ou diminuer ce nombre d'une quantité moindre que 1 millième, on prendra 8,992 à moins d'un millième par défaut ou par excès.

Baeine enbiqae.