CHAPITRE III

PLUS «BAND COmillUN

DEFINITIONS

71 . Les nombres qui divisent exactement un nombre donné sonl les diviseurs de ce nombre. Ainsi le nombre 12 admet pour diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus petit diviseur d'un nonibre est 1, le plus grand est ce nombre lui-même.

Les nombres, qui divisent à la fois plusieurs nombres donnés, sont les communs diviseurs de ces nombres. Parmi les communs diviseurs de plusieurs nombres, il en est un qu'il importe déconsidérer d'une manière spéciale, c'est le plus grand : on l'appelle plus grand commun diviseur. La recherche du plus grand commun diviseur a une grande importance en arithmétique.

Plus g^rand coinmiiii diviseur de deux nombres.

72. Lemme. Quand deux jiombressont tels que le plus grand est divisible par le plus petite les communs diviseurs de ces deux nombres sont les diviseurs du plus petit.

Soient les nombres 96 etl2, tels que 9ô est divisible par 12. Il est évident d'abord que les communs diviseurs de ces deux nombres sont des diviseurs de 12. Réciproquement, tout diviseur de 12 divise aussi le multiple 96 ; ainsi les communs diviseurs de 12 et de 96 sont les mêmes que les diviseurs de 12.

Puisque le plus grand diviseur de 12 est ce nombre luira jme, il s'ensuit que 12 est le plus grand commun diviseur des nombres 96 et 12. Ainsi le plus grand commun diviseur de

deux iiombreSj tels que le plu^ grand est divisible par le plus petit^ est ce plu^ petit nombre.

Théorème L Deux nombres quelconques admettent les mêmes communs diviseurs que le plus petit de ces nombres et le.reste de la division du plus grand par le plus petit.

Soient les deux nombres 312 et 108; en divisant le plus grand par le plus petit, on trouve 2 pour quotient et 96 pour reste. Puisque le dividende égale le produit du diviseur par le quotient, plus le reste, on a

Je considère un commun diviseur de 312 et de 108 ; divisant lOfr, il divise le multiple 108x2; divisant 312 et 108x2, il divise la différence 96. Ainsi, tout commun diviseur de 312 et de 108 est commun diviseur de 108 et de 96.

Réciproquement, je considère un commun diviseur de 108 et de 96 ; divisant 108, il divise le multiple 108x2 ; divisant 108x2 et 96, il divise la somme 312. Ainsi, tout commun diviseur de 108 et de 96 est commun diviseur de 312 et de 108.

Si donc on formait deux tableaux contenant, Tun les diviseurs communs de 312 et de 108, l'autre les diviseurs communs de 108 et de 96, ces deux tableaux seraient identiquement les mêmes.

73. D'après ce théorème, la recherche des communs diviseurs des deux nombres 312 et 108 est ramenée à la recherche des communs diviseurs des deux nombres plus simples 108 et 96. J*opère de la même manière sur ces deux derniers nombres; en divisant 108 par 96, on trouve 12 pour reste. D'après le même principe, les communs diviseurs des nombres 108 et 96 sont les mêmes que ceux des nombres 96 et 12. Or 96 est divisible par 12; donc les communs diviseurs des nombres 96 et 12, et par conséquent les communs diviseurs des deux nombres proposés, ne sont autre chose que les diviseurs de 12, Comme le plus grand diviseur de 12 est 12 luî»

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même, il s'ensuit que 12 est le plus grand commun diviseur des nombres 312 et 108. De ce qui précède on conclut :

Règle. Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres donnés, on divise le plus grand par le plus petite ce dernier par le reste de la division, le premier reste parle second reste^ et ainsi de suite jusqu^à ce qu^on arrive à un reste nul; le dernier diviseur obtenu est le plus grand commun diviseur cherché.

On dispose l'opération de la manière suivante :

on place les quotients au-dessus des diviseurs, afm de laisser la place libre pour les restes.

Remarque. Dans cette démonstration on est arrivé à cette conclusion que les communs diviseurs des deux nombres donnés 312 et 108, sont précisément les diviseurs de 12. Ainsi les diviseurs communs de deux nombres ne sont autre chose que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur. On énonce quelquefois cette proposition en disant : tout nombre qui divise deux nombres divise leur plus grand commun diviseur.