PREUVES PAR LES RESTES

67. Tai indiqué les procèdes à Taide desquels on détermine rapidement les restes d'un nombre par rapport aux diviseurs simples 2, 3, 4, 5, 9, H . Je compléterai plus tard celte théorie, et je rétendrai à un diviseur quelconque ; mais on peut déjà faire quelques applications de ce qui a élé dit sur ce sujet.

Je considère une expression indiquant certaines opérations arithmétiques à effectuer sur des nombres donnés. Ne pourrait-on pas déterminer d'avance, sans qu'il fût nécessaire d'effectuer les calculs, le reste du résultat final ?

Je suppose d'abord que l'on additionne plusieurs nomI)res donnés, 287, 1345, 3895, et, afin de fixer les idées, je prends les restes par rapport à 9 ; j'ai

2 8 7 = multiple de 9 H- 8 1345= id. -+- 4

3895= id.

Somme =: multiple de 9 -h 19.

En réunissant tous les multiples, on voit que la somme des nombres proposés égale un multiple de 9, plus la somme des restes. Cette dernière somme 19 donnant pour reste 1, le reste de la division de la somme des nombres donnés par 9 est 1.

Je considère maintenant la différence de deux nombres donnés 4678 et 2695 ; j'ai

4 6 7 8 =^ multiple de 9 + 7 2695= id. +4

Différence = multiple de 9 + 3.

Si le reste inférieur était plus grand que le reste supérieur, on ajouterait 9 à ce dernier* Exemple :

3791 = multiple de 9 + 2 2695= id. +4

Différence = multiple de 9 + 7 *

Ce qui précède peut être résumé dans le théorème suivant :

Théorème I. Lorsque plusieurs nombres donnés sont cornbinés par addition ou par soustraction^ le reste du résultat ne change pas si Von augmente ou si Von diminue chacun d^eux d'un multiple quelconque du diviseur. On voit, en effet, qu'en opérant de la sorte on augmente ou Ton diminue le résullat d'un multiple du diviseur, ce qui ne changé pas le reste. Le résultat augmente si Ton augmente les nombres à additionner ; il diminue, au contraire, si l'on augmente les nombres à retrancher.

68. Théorème IL Le reste d'un produit ne changepas si Vonaugmente ou si Ion diminue chaque facteur d'un multiple du diviseur.

Un produit de deux facteurs n'est autre chose que la somme de plusieurs nombres égaux au multiplicande; donc si Ton augmente ou si Ton diminue le multiplicande d'un multiple du diviseur, le produit lui-même est augmenté ou diminue d'un multiple de ce diviseur.

Dansun produit de plusieurs facteurs, comme845x67x24, on peut mettre au commencement Tun quelconque des facteurs, 67 par exemple, et supposer les autres combinés en un seul. Le produit se compose alors du facteur 67 répété un certain nombre de fois. Si donc on augmente ou si Ton diminue ce facteur d'un multiple du diviseur, le produit augmente ou diminue d'un multiple, et par conséquent le reste du produit ne change pas. Comme ce raisonnnement s'applique à tous les facteurs indistinctement, le théorème est démontré.

69. Corollaire. Je retranche de chaque facteur le plus grand multiple du diviseur qu'il renferme, et je remplace les différents facteurs par les restes correspondants* Puisque le produit des restes ne diffère du produit proposé que d'un mul^ tipledu diviseur, j'obtiendrai le reste du produit en multipliant les restes des facteurs. Soit le produit 845x67 j ks restes des

deux facteurs, par rapport au diviseur 9, sont 8 et 4 ; le reste du produilest 8x4=52, ou, plus simplement, 5. Soit le produit 845 x67 X 24 ; on calculera d'abord le reste 5 du produit des deux premiers facteurs, on multipliera ensuite 5 par le reste 6 du troisième facteur, ce qui donne 50 ou 5 pour le reste cherché.

70. Ce qui précède donne des moyens de vérification pour les calculs arithmétiques. Je suppose qu'après avoir exécuté une série d'opérations sur des nombres donnés, on veuille s'assurer de Texactilude des résultais. J'ai expliqué comment on détermine d'avance le reste du résultat par rapport 5 un certain diviseur ; d'autre part, le résultat étant calculé, si Ton détermine directement son reste par rapport au même diviseur, on doit trouver le même reste.

Cependant, lorsque le même reste se reproduit de part et d'autre, on ne peut pas affirmer d'une manière absolue que le résultat soit exact. Car, si dans les calculs on avait commis une erreur qui fût exactement un multiple du diviseur, cette erreur, n'ayant aucune influence sur les restes, ne se manifesterait pas par ce procédé de vériilcation ; mais il est peu probable qu'une erreur commise soit exactement un multiple du diviseur. Dans la pratique, on prend ordinairement les restes par rapport à 9, à cause de la facilité avec laquelle on les obtient.

J'applique cette méthode à la multiplication ou à la division. Soit la multiplication suivante :

Les restes du multiplicande et du multiplicateur sont 8 et 4 ; 8x4 ou 52 donne le reste 5; or le produit calculé donne directement 5 pour le reste ; la vérification a lieu.

Soil maintenant une division :

Puisque le dividende égale le produit du diviseur par le quotient, plus le reslc de la division, on a

57090=845X67 H-475 = muUiple de 9 + 8x4+7.

On multipliera le reste 8 du diviseur par le reste 4 du quolient, ce qui donne 52, dont le reste est 5 ; on y ajoutera le reste 7 du reste 475 de la division, ce qui donne 12 ou 5. Le dividende doit fournir directement le reste 5, ce qui a lieu en effet.