I.a division de 90 par 12 donne un quotient 7 et un reste

et Ton a

Si Vx>n multiplie par 3 chacune des deux parties qui composent le nombre 90, on a

7» LIVBE ir. - CHAPITRE Ifl.

Puisque le reste 6 est plus petit que le diviseur 12, le nombre 6 x3 sera aussi plus petit que 12x3. Donc, si on divise 90x3 par 12x3, on obtient le môme quotient 7 et le reste 6x3.

Lemme il Si Von divise le dividende et le diviseur par un même nombre^ le quotient ne change pas^ et le reste est divisé par le même nombre.

On a démontré que, lorsque deux nombres 90 et 12 sont divisibles par un même nombre 3, le reste 6 e^ aussi divisible par 3. Si Ton divise par 3 les deux parties qui composent le nombre 90, on a

Donc, si l'on divise 90 : 3 par 12 : 3, on obtient le môme quo- Iienl7,ellereste 6:3.

Théorème IV. Si Von multiplie ou siV on divise plusieurs nombres par un même nombre^ le plus grand commun diviseur est aussi multiplié ou divisé par ce nombre.

Il suffit de démontrer ce théorème pour deux nombres.

Reportons-nous à la série des opérations par lesquelles on détermine le plus grand commun diviseur de deux nombres, 312 et 108 (n* 73). Si Ton multiplie ces deux nombres par 3, le reste 96 sera aussi multiplié par 3; les deux nombres 108 et 96 élant multipliés par 3,1e second reste 12 sera aussi multiplié par 3, et ainsi de suite. Toute la série des diviseurs sera donc multipliée par le même nombre 3 ; si donc on cherche le plus grand commun diviseur- des deux nombres 512x3 et 108x3, on trouvera 12x3.

Voici le détail de Topération :

De même si l'on divise par 3 les deux nombres 312 et 108, toute la série des diviseurs sera aussi divisée par 3. Si donc

on cherche le plus grand commun diviseur des deux nombres 512 : 3 el 108 : 3, c est-à-dire de 104 et 36, on Irouvera 12 : 3, ou 4.

80. ConoLLAiBE I. Lorsqu'on veut déterminer le plus grand commun diviseur de deux nombres terminés par des 0, par exemple 31200 et 10800, on supprime un môme nombre de zéros de part et d'autre, et Ton opère sur les nombres 312 et 1 08. Le plus grand commun diviseur de ces deux nombres est 12. Pour revenir aux deux nombres proposés, il faut multiplier 3i 2 et 108 par 100 ; le plus grand commun diviseur 12 étant aussi mullipliô par 100, le plus grand commun diviseur cherché est 1200.

81 . Corollaire II. Si Von divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur ^ les deux quotients sont premiers entre, eux. En effet, si Ton divise les deux nombres 312 et 108 par leur plus grand commun diviseur 12, les deux quotients 512 : 12 et 108 : 12, c'est-à-dire 26 et 9, auront pour plus grand commun diviseur 12 : 12 ou 1 ; donc ces deux quotients sont premiers entre eux.

82. Théorème V. Lorsqu'un nombre divise le produit de deux facteurs et quil est premier avec Vun d^eux, il divise l autre.

Lorsqu'un nombre divise un produit de deux facteurs, il arrive souvent que ce nombre ne divise aucun des deux facteurs. Ainsi, le nombre 9, qui divise le produit 360 des deux nombres 15 et 24, ne divise aucun des deux facteurs. Mais quand le nombre est premier avec Tun des facteurs, on peut affirmer qu'il divise l'autre facteur.

Par exemple le nombre 9 divise le produit 504 des deux facteurs 14 et 36 ; il est premier avec 14, je dis qu'il divise ]*autre facteur 36. En effet, le plus grand commun diviseur des deux nombres 14 et 9, premiers entre eux, est 1 ; je multiplie ces deux nombres par 36 ; d'après le théorèm'e précédent, les deux nombres 14x36 el 9x36 admettent pour plus grand commun diviseur 1 x 50 ou 364 Or le nombre 9

divise son mulliple 9 x 56 ; on a supposé d'ailleurs qu'il divise le produit 14x56; le nombre 9 est donc un commun diviseur des deux nombres 14x56, 9x56; donc il divise leur plus grand commun diviseur 56 (n** 75).

83. Théorème VI. Quand un nombre est divisible séparément f:ar deux nombres premiers entre euxj il est divisible par leur produit.

Lorsqu'un nombre est divisible séparément par deux nombres, il arrive souvent que ce nombre n'est pas divisible par leur produit. Ainsi, le nombre 72, divisible séparément par 6 et par 8, n*est pas divisible par le produit 48 de ces deux nombres. Mais si les deux diviseurs sont premiers entre eux, on peut affirmer que le dividende est divisible par leur produit.

Soit un nombre 540 divisible séparément par deux nombres 4 et 9, premiers entre eux, je dis qu'il est divisible par le produit 56 de ces deux nombres. En effet 540, étant divisible par 4, égale le produit de 4 par un certain nombre 155,

or 9 divise 540, ou le produit 4x 155; il est premier avec le facteur 4; donc, d'après le théorème précédent, il divise l'autre facteur 155. Ce nombre 155, étant divisible par 9, égale le produit de 9 par un certain nombre 15 ; si l'on remplace 155 parle produit 9x15, on a

en regardant comme effectué le produit des deux premiers facteurs, on voit que 540 est un multiple de ce produit 56 ; donc le nombre 540 est divisible par 56.

84. Corollaire. Ce théorème simplifie la recherche des caractères de divisibilité. Je considère, par exemple, le diviseur 6, produit dès deux facteurs 2 et 5, premiers entre eux. Pour qu'un nombre soit divisible par 6, il est nécessaire d'abord que ce nombre soit divisible séparément par 2 et par 5; car tout mulliple de 6 est nécessairement multiple de 2 et de 3.

PLUS GRAND œMMUN DIVISEUR. 81

Celle condition d'ailleurs est suffisante, parce que les deux facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux. Ainsi un nombre est divisible par 6 quand il est pair et que la somme de ses chiffres est divisible par 3.

De même, 12 élant le produit de deux facteurs 3 et 4, premiers entre eux, un nombre est divisible par 12 quand il est divisible par 3 et par 4.

De même, 15 élant le produit de deux facteurs 3 et 5, premiers entre eux, un nombre est divisible par 15 quand il est divisible par 3 et par 5.

86. TnÉoriÊME VII. Quand un nombre est divisible séparément par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux^ il est divisible par leur produit.

Ce théorème est la généralisation du théorème précédent.

Soit un nombre A, divisible séparément par les trois nombres a, &, c, premiers entre eux deux à deux; je vais démontrer qu'il est divisible par leur produit. On suppose que les trois diviseurs sont premiers entre eux deux à deux, c'est-àdire que a et 6 sont premiers entre eux, de même a et c, 6 et c.

Le nombre A, étant divisible par a, égale le produit de a par un certain nombre g,

Az=Laxq.

Puisque le nombre b divise A, ou le produit axç, et qu'il est premier avec le facteur o, il divise Tautre facteur q; donc q égale le produit de b par un certain nombre q\

q=:zbxq\

Puisque le nombre c divise A, ou le produit axq^ et qu'il est premier avec a, il divise q; puisque le nombre c divise ç, ou le produit bxq\ et qu'il est premier avec 6, il divise r/; donc q' égale le produit de c par un certain nombre r/',

q'r=:cxf.

En décomposant successivement les facteurs, on a

A = aXq = axbXq' = axbxcXii"y

et Ton voit que le nombre A est un multiple du produit axb >:.c^ et par conséquent est divisible par ce produit.

La même démonstration s'applique à quatre nombres et généralement à autant de nombres qu'on veut.

PIo» petit nialtlple.

87. On appelle commun multiple ou plus simplement multiple de plusieurs nombres un nombre qui est à la fois multiple de chacun des nombres donnés. Parmi les multiples de plusieurs nombres, il en est un qu'il importe d'éludicr d'une manière spéciale, c'est le plus petit : on l'appelle plus petit multiple.

Il est évident que, si le plus grand des nombres donnés est divisible par chacun dés autres, comme il est divisible par luimême, il est le plus petit multiple cherché. Ainsi le plus petit multiple des trois nombres 8, 42, 24 est 24. Dans le cas général, on détermine le plus petit multiple au moyen du plus grand commun diviseur.

PLUS PETIT MDLTIPLE DE DEUX KOMBRES

88. Théo«ême VIII. Le plus petit multiple de deux nombres est égal au produit de ces deux nombres divisé par leur plus grand commun diviseur.

J'appelle A et B les deux nombres donnés, d leur plus grand commun diviseur, a eA b les quotients, premiers entre eux, que l'on obtient en divisant les deux nombres donnés par leur plus grand commun diviseur. On a

K = dxaf B=cJx&.

J'appelle M un multiple quelconque des nombres A et B. Puisque le multiple M est divisible par A ou par le produit

dxa, il est divisible par d, et le quotient -y est divisible

par a. Puisque le multiple M est divisible par B ou par le pro-

PLUS PETIT MULTIPLE. fî3

iff

duit fixft, il est divisible par d, et le quotient -j est divisible'

par b. Le nombre -r, divisible séparément par les deux nombres a et 6, premiers entre eux, est divisible par le produit axb (n° 85), en d'autres termes, est un multiple du produit axb; il en résulte que tout multiple commun M est un multiple du produit dxaxb. Réciproquement, tout multiple du nombre dxaxb est divisible séparément par chacun des deux nombres A ou dxa, B ou dxt. Ainsi les multiples communs des deux nombres A et B sont les mêmes que les multiples du nombre dxaxb.

Puisque le nombre dxaxb est à lui-même son plus petit multiple, il s ensuit que ce nombre est le plus petit multiple des nombres A et B. Comme ce plus petit multiple peut s'écrire

dxaxb = kxb= — —,

on voit qu'il est égal au produit des deux nombres A et B divisé par leur plus grand commun diviseur.

Dans la pratique, pour calculer le plus petit multiple, on multiplie Tundes deux nombres donnés par le quotient que Ton obtient en divisant l'autre par le plus grand commun diviseur.

Par exemple, le plus grand commun diviseur des nombres 8 cl 12 est 4 ; on calculera le plus petit multiple de ces deux nombres en divisant par 4 le produit 8 x 12, ou plus simplement en multipliant l'un deux 8 par le quotient 3 que Ton ottient en divisant l'autre 12 par 4, ce qui donne 24. Ce plus petit multiple contient exactement 3 fois le premier nombre, 2 fois le second.

89. Corollaire I. II résiille de la démonstration précédente que les multiples communs de deux nombres A et B sont les multiples de leur plus petit multiple dxaxb.

Le plus petit multiple des deux nombres 8 et 12 est 24. Si Ton multiplie 24 par chacun des nombres 1, 2, 3, 4 , on

forme la série indéfinie des mulliples conimuns de 8 et 12, savoir ;

90. Corollaire II. Le plus petit multiple de deux nombres premiers entre eux est égal au produit de ces deux nombres, puisque leur plus grand commun diviseur est Tunilé. Ainsi le plus petit multiple des deux nombres 4 et 9, premiers entre eux, est leur produit 56.