Une quantité telle que &, racine de l'équation
HebE 0
se nomme un zéro de f(x), et l’entier correspondant mn, le degré de multiplicité de cette racine ou zéro; d’où les dénominations de zéro (ou racine) simple, double, triple, ... selon que m—1, A,
Le degré de multiplicité est ainsi caractérisé par deux propriétés dont chacune entraîne l’autre : il est l’ordre de la première des dérivées successives de f(x) que le zéro n’annule pas, etil est aussi bien l’exposant de la puissance du binôme + — a qui divise f(x) en donnant un quotient olotrope et non nul en x — a.
Si kest < m, a est encore un zéro de f(x), mais de degré de multiplicité m—k seulement; effectivement, pour x — 4, f(x) s’annule et toutes ses dérivées jusqu’à celle d'ordre m — k, qui est f(x); exclusivement.
Au contraire, le degré de multiplicité s'élève à m +1 pour F(x), détermination de [ f(x)dx qui s’annule en x — a; car, HOUR EE (x) — FH (x),
On a quelquefois intérêt à considérer fictivement une valeur de æ n'annulant pas f(x), comme un zéro de cette fonction dont le degré de multiplicité serait = 0.
4. St f(x) est olotrope dans une aire limitée S, ses séros numériquement distincts y sont en nombre limité, ou bien cette Jonction y est identiquement nulle.
Cette proposition est un corollaire évident de celle qui a été
n DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.
démontrée pour les fonctions de variables en nombre quel-.
conque (188*).
3. Sous les mémes conditions, f(x) ne peut, dans l'aire se reprendre une même valeur À qu'un nombre de fois limité, à moins de s'y réduire identiquement à cette constante.
Car la différence f(x) — À étant, comme f(x), olotrope dans l’aire S, s’y annule un nombre de fois limité, ou bien identiquement (4).
6. Sous les mêmes conditions, en supposant f(x) non identiquement nulle et en appelant
(9) Li aride UE
Le]
les zéros numériquement distincts que cette fonction possède dans l’aire S, en nombre essentiellement limité (4), puis
(4) M1: TTL ss Cité leurs degrés de multiplicité, on a la formule (5) f(æ)= (x —a)n(x — a)... (x — ag)" fe(t),
te * VS L f4(x) désignant quelque fonction, olotrope dans l’aireSetny ayant plus aucun zéro.
Ona(1) (6) fæ)=(& — a) f(x),
où la fonction olotrope f.(æ) n’a plus le zéro a,, mais admet tous les autres aux mêmes degrés de multiplicité. Car, en écrivant
CONSTAT OC Ennt 20 RE
en remarquant que le second facteur est olotrope en «a; par exemple, sans que lui, n1 aucune de ses dérivées, s'y évanouisse, et en raisonnant comme au n° 2, on prouvera que pour ce pro-= duit l’ordre de la première dérivée qui ne s’y évanouit pas est le même que pour son premier facteur. On aura donc aussi
(7) fix) = (x — a2)"afa(x),
