Pour la somme des puissances semblables de ces racines
on trouve en particulier DRE
toutes les fois que leur exposant k n’est pas divisible par m. Quand l’exposant est multiple de m, on & au contraire
SaË= m, de — #8, — 1.
116. Le produit #,8,...#, des racines m°"® de l'unité est une fonction symétrique du genre de la somme (9), et comme la pré-
cédente, de degré divisible par m2. Sa valeur est intéressante à calculer.
On a
6182: .. 8 n — = ET, selon que m est pair ou impair.
En prenant effectivement ces racines sous les formes (7) et ayant égard à la relation générale (32) du n° 91, il vient immédiatement
[+92 +... (m—1) 81 82. «+ Bn —= P ,
=o(2—) = FOIS Gore) 0) 2
116 bis. Les racines communes aux deux équations
(10) LUS ET, VAUPEES
sont celles de l’équation (11) ua II,
d représentant le plus grand commun diviseur de m1, ma.
Es
de la première équaà.) 2 {
Pour que la racine quelconque D
tion (10)appartienne à la seconde, il faut effectivement et il suffit,
en posant mi . Ma — — 7} —* = M, « “ d ge que 7 g M a(72£&) a (TE Ye mt 118 US AR 1 . Mo £ ; *: * + , par suite (101, V) que nr SOI un entier, ou bien, puisque m,
est premier à m,, que g soit divisible par m,, c’est-à-dire de la forme ym,,7 désignant quelque entier. Il faut donc et 1l suffit que P (£) se réduise à D (1 a ) p(1) » C'est-à-dire soit quelque mi dm’ \d)
racine de l’équation (11).
Plus généralement, les racines communes aux équations semblables en nombre quelconque
(12) Ut = T, USE LES me
sont celles de l'équation
