En appelant U la valeur acquise en X au bout d’un

chemin donné, par quelque détermination u de æ”, et UE ce qu'elle devient par l’adjonction au chemin considéré de k anneaux directs ou rétrogrades tracés autour de | origine O,,

on «à UE = an,

où à désigne la racine principale directe mième de l’un té (113).

La relation (4) combinée avec les propriétés de la fonction 4 (88) donne immédiatement |

UE) — HEIN — UOIRE (91 ); mnt ? mn

I PUITS , : = or D Le est précisément ce que nous avons appelé la racine prinnm

cipale directe mie de l’unité.

120: Les valeurs finales en X, de la détermination U, Sont ainsi les termes de la progression géométrique de raison 4

(8) 2 AU, UÙ, aU, aaU,

Cette suite ne contient naturellement que des racines de l’équa- Uon numérique (1); mais elle n’en renferme de distinctes qu’en nombre évidemment égal à l’exposant auquel appartient an considérée comme racine mième de l'unité, c’est-à-dire au quod | vement) des entiers me, r (111).

üent —; d désignant le plus grand commun diviseur (pris positi-

114 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE. ; At ah m Si donc n est divisible par m, cas où l’on a d = m, = —=1, tous les termes de la progression (8) sont égaux à U. Dans l’autre cas extréme où m, n sont premiers entre EUX,

m . , AIT ONCE ET EL TM; la suite (8) contient m termes distincts,

et, par conséquent, la totalité des racines de l’équation (x).

Entre le cas où m, n sont premiers entre eux et celui où leur plus grand commun diviseur est 1, il existe ainsi une différence essentielle. Dans le premier, la progression (8) renferme {outes les racines de l’équation (1); ainsi donc un chemin tracé convenablement de x à X permettra toujours, quel qu'ait été Le choix de uo, d'obtenir en X, pour la valeur finale de u, telle racine qu'on voudra de cette équation numerique.

Dans l’autre cas au contraire, et quel que soit le chemin suivi, mais bien entendu en partant toujours de la même valeur initiale w,, on n’obtiendra jamais pour valeur finale de u en X mm d ment les m/ racines de l’équation de degré sous-multiple

que m'— — racines distinctes de l'équation (x). Ce sont évidem-

un — Un’,

121. Le second des deux cas ci-dessus peut être rattaché au premier, au moyen d'une décomposition connexe du premier membre de l’équation (3) en d facteurs rationnels. Il y a grand

intérêt à le remarquer.

En appelant 81, 8, --., 8a les d racines dièns de l’unité, on a

les d — 1 égalités

parce que les degrés des termes généraux de ces sommes sont 1, 2, 3, ...,d—1, partant non multiples de d (114); on a en outre

On en conclut immédiatement l'identité

um — gt — (um — 8x )( un" — CP 2110) AA (um — EE D