CHAPITRE IV. -— PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

s'ils sont utiles, correspondent des équations numériques (49) dont la somme des degrés effectifs, égale à

S0 +(Si— 50) +... +(g — 5-1)

d’après le tableau (47), reproduit le grade ÿ de l’équation (1), la somme totale des degrés de multiplicité des racines de ces / +1 équations est précisément égale à ce même nombre g (13).

D'autre part, on constatera facilement que, dans le passage d’un côté utile de cette première enceinte à l'équation subséquente (45 bis), le grade de celle-ci (par rapport à w,,) est précisément égal au degré de multiplicité auquel a, avait appartenu, comme racine, à l'équation numérique dont la résolution a fourni ce coefficient ; et de même, dans le passage d’un côté utile d’une enceinte ultérieure quelconque, à l’équation transformée subséquente.

Par conséquent, si les enceintes des graphiques successifs ne contiennent jamais que des côtés utiles, il est certain que dans le prolongement opéré simultanément et parallèlement, des développements de toutes les racines de l'équation (1), les coefficients de ces divers développements seront, relativement aux équations numériques qui les fournissent, des racines dont la somme des degrés de multiplicité conserve indéfiniment la valeur g.

L'utilité de tous les côtés de toutes les enceintes à construire successivement pour l'équation précédente (54 bis) ayant été assurée par l'emploi du multiplicateur n, il est donc certain aussi que cette équation elle-même, l’équation (50) par suite, possèdent des racines olotropes dont la somme des degrés de muluplicité est précisément 8.

149. La proposition précédente doit être complétée par des observations essentielles.