CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

IL. Pour > 1, elle ne l’est pas, et on peut encore la dire rhisomorphe à l'infini.

Elle est alors infinie, finie ou infiniment petite, de tel ou tel ordre fractionnaire, selon que dans son premier terme effectif

l’exposant est positif, nul ou négatif (105). JE ILest bon d'observer en passant, que la fonction radicale simplex””

constitue le cas particulier le plus simple de la série (8), celui où elle contient un seul terme effectif en (x — 0).

159. Pour les valeurs de x ci-dessus définies (152), la série (8) est de celles dont on peut exécuter la différentiation ou l’intégration en opérant séparément sur chacun de ses termes.

En supposant d’abord qu’il s’agit du signe +, nous décomposerons la série en la somme de l'expression

eo PE bee Pt (9) AT To) * + A1(T—To) Y +... HAT — 0) Ÿ

contenant tous ses termes à exposants négatifs, et de la série 1 2 (10) ÀS + AoH1(T — Lo) + Agt2(T — Xo) +...

formée par ses termes à exposants nul et positifs.

Sauf en Zo, tous les termes de cette dernière sont olotropes; en outre pour toutes les valeurs de x rendant mod(x — x5)< Ÿ (9: 5), leurs modules demeurent inférieurs à ceux positifs de la série

mod A + mod Ag; R'+ modA%2R'2+...,

qui est convergente parce que R'— (ÿ est inférieur à R(> 5), rayon de convergence de la série (7).

Les théorèmes des n° 274*, 275* sont donc applicables à la série (10) et, par suite évidemment, à la proposée (8), parce que les termes de l’expression (9) sont en nombre essentiellement limité.

Le cas où 1l s’agit du signe — à prendre devant y se traite exactement de la même manière.