En x =, et quand il s’agit du signe +, il y a plusieurs

cas à distinguer.

1. Pour y —1, la série (8) est méromorphe, avec æ, pour infini de degré de multiplicité & (quand À, non — 0), olotrope quand

À = A = en

II. Pour y > 1, la série n’est nt olotrope ni méromorphe, ce dont on s'assure immédiatement en raisonnant comme au n° 143. Elle entre dans une phase singulière d’une nature spéciale, qui est nouvelle pour nous, el qui nous autoriserait à proposer pour cette fonction la qualification de rhizomorphe.

Quand x tend vers +9, avec À, non — 0, elle est infinie, d'ordre

(fractionnaire) . par rapport à (x — x)‘, comme on le dit

quelquefois (103).

Si A,— A1 —=...— A, , — 0, elle tend vers À,; si en outre les coefficients des premiers termes à exposants positifs s’évanouissent ue

jusqu’à celui de (x — x,)” exclusivement, elle est infiniment petite

d'ordre Ê par rapport à (T —&Xo).

154. Quand il s’agit du signe —, il n’y a lieu de se poser de pareilles questions que pour des valeurs infinies de æ.

I. Pour »y=1, la série (8) est visiblement méromorphe ou olotrope à l’infint (51), selon que l’exposant de son premier terme effectif est positif ou non.