CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

temps qu'une autre racine soit infinie. Mais alors chacune de ces

. racines se comporte comme si l’autre n’existait pas, et les choses

se passent à peu près comme en une valeur de x où l’équation (1) aurait plusieurs racines multiples numériquement inégales.

Ces valeurs (4) (5) de x sont les seules évidemment qui, dans Paire S,, soient critiques pour telles ou telles racines w de l’équa-

tion (1) (146*).

160. Quand la valeur initiale de x choisie pour commencer le cheminement est une quantité a appartenant à la suite (4), et que la valeur correspondante b choisie pour w est racine simple de l'équation numérique

on rentre dans la théorie générale, et nous n’avons rien à ajouter à ce qui a été dit au n° 307*. Mais quand b est racine multiple, sa connaissance ne suffit plus à l'exécution du cheminement, à cause de l’ambiguïté naissant de l'existence possible de plusieurs racines de l’équation (1) se réduisant toutes à b pour x — a.

Celles de ces racines qui sont olotropes en x — « ne peuvent se distinguer les unes des autres que par les premiers schémas de leur développement (172*), poussés les uns et les autres jusqu aux points où ils diffèrent par quelque article. Pour préciser celle qu’on entend calculer par cheminement, on indiquera donc son premier schéma choisi naturellement parmi ceux que fournit la méthode expliquée dans les paragraphes précédents.

Mais pour les autres qui sont de la forme NE ANRCA où y est =>1, l’indication du schéma [nous voulons dire des coetficients du développement de la composante olotrope d(4)] ne suffit plus à lever l’ambiguïté, à cause de la muluplicité des

valeurs du radical (x — a). Il faut alors indiquer, en outre, celle de ces valeurs qu’on entend substituer dans d(#) pour commencer Popération. Au fond, les conditions du cheminement sont totalement modifiées par cette intervention d’un élément étranger au schéma, et encore par l’emploi d’un autre développement que celui de Taylor. Cette valeur a de x correspond alors à ce qu’on nomme souvent un point de ramification pour les racines w en question.

161. Quand la valeur initiale & de æ fait partie de la suite (5) et que celle de w est infinie, les choses se passent de la même manière, à cela près que les composantes d(#) ne sont que méromorphes en £— 0, et que leurs schémas contiennent des coefficlients de termes à exposants négatifs; on abandonne encore la série de Taylor.

S1l’équation (1) possède une seule racine, méromorpheenx= a, l'ambiguïté n'existe pas; pour plusieurs racines de cette espèce elle se lève par le choix fait entre les schémas réduits à des termes assez nombreux pour mettre leur non-identité en évidence. Pour les racines non méromorphes, il faut y ajouter comme ci-dessus l'in-

dication de la valeur à prendre parmi les y disunetes de (æ — sa En & on a encore, mais d’une autre manière, un point dé ramification. |

Quand la valeur initiale de + appartient à la fois aux deux suites (4), (5), les deux ordres de faits qui viennent d’être signalés se présentent simultanément sans modifications réciproques.

162. Une deuxième question à résoudre consiste à assigner le résultat auquel un cheminement déterminé conduit en A, valeur finale de x appartenant à telle ou telle des suites (4), (5), ou bien à toutes deux à la fois.

Soient

(6) bi, Do, ., INÉTEENAPaU EURE

les valeurs numériques distinctes, finies et infinie, des racines que l'équation

PÉMPUUNE

peut posséder, et W/ une valeur de + choisie sur le chemin considéré, de manière :

1° Que les développements (olotropes, méromorphes ou rhizomorphes) des racines distinctes de l’équation (1) qui tendent vers les quantités (6) quand x tend vers 4, soient tous convergents pour æ — #/, ce qui est réalisable dans les cas courants, en particulier dans celui où ces quantités (6) sont en nombre limité;

2° Que pour æ— 4’ ces développements prennent des valeurs numériques inégales, ce qui est réalisable puisqu'ils diffèrent les