CHAPITRE IV. — PHASES CRITIQUES DES FONCTIONS IMPLICITES

uns des autres, soit par leurs composantes (4) (olotropes ou méro-

morphes), soit par les valeurs des radicaux de la forme (æ— a) à y substituer à £. Appelons enfin

les groupes de valeurs numériques dont il s’agit.

Quand x arrive en \/, w atteint une valeur nécessairement égale à quelqu'une b de ces quantités. Cela posé, 1l est évident que, quand æ passe de w à à par un dernier pas, w offre b; pour valeur finale (finie ou infinie), et qu’en x = à, u est olotrope, méromorphe ou rhizomorphe selon que b” est la valeur numérique qu'a prise en x = un développement de la nature homonyme.

163. IL est bon d'observer qu’on pourrait encore achever le Ï Ï cheminement d’une manière directe, c’est-à-dire à l’aide d’un développement de &. fait à partir d’une valeur de + non égale à 4. mais ) P 5 ) suffisamment voisine de cette quantité.

I. Supposons d’abord que l’on ait A—0, que w y prenne la valeur finale zéro, et nommons n un entier tel que toutes les racines de l'équation

(8) JG, u)=0,

qui s’évanouissent pour # — 0, y soient olotropes (141).

On peut évidemment délimiter une aire S; renfermant l’origine t — 0, de plus assez petite pour que toutes les racines considérées de l’équation (8) y soient olotropes; on pourra donc choisir dans cette aire une valeur t; de x, à module suffisamment petit pour que les développements de toutes ces racines, faits à parür de #;, aient des rayons de convergence tous supérieurs à modt;, et par suite, pour qu’en y faisant t — 0 ils convergent, eux et aussi les séries formées par les modules de leurs termes.

S1 donc on prend æ;=t;, il est certain que le développement à partir de x; d’une racine quelconque de l’équation (1) s’évanouissant avec æ converge pour æ —0, quand bien même cette

racine n’y serait pas olotrope. Effectivement on peut le former en substituant à ? — +; dans le développement de la racine de l’équation (8), dont les modules des termes forment une série conver-

gente pour æ—o comme nous venons de le constater, celui L vf

de x"— x" en série entière par rapport à x — x;, lequel jouit de

la même propriété en x — 0, et dont la somme a précisément pour

module celle de la série formée par les modules de ses termes,

cela à cause de 0 < : un (12,1 En Jen

En prenant donc x; suffisamment voisin de 4, le cheminement qui conduit x en A(— 0) peut être achevé comme st cette valeur n'était pas critique, par un dernier développement de u construit à partir de x;.

II. La même conclusion subsiste évidemment quelle que soit la valeur de à, quand w y prend la valeur quelconque b; car la discussion se ramène à celle de quelque racine w/ s’évanouissant avec x', de l'équation de même nature

f(a+zx,b+u)=o.

C’est elle, avec celles des n° 160, 161, qui assure l'exactitude des observations faites à la fin des n°* 19, 48.

III. Quand w est infinie en x — 4, les choses se passent de la même manière, à cela près qu'il faut substituer à la considération de w celle de la racine correspondante w' de l'équation trans-

formée (3).

164. Traitons encore cette troisième question qui se présente fréquemment.

Appelantx,,X deux valeurs non critiques de x, données dans l'aire Sx, distinguer parmi les racines de l’équation numérique

(9) ENS Ur

celles qui sont les valeurs finales de u calculées par cheminement, à partir d’une même valeur initiale us (ou schéma) en xo, sur les divers chemins qu’on peut tracer de x, à X dans celte aire.

dc al