DR PE, OR

* CHAPITRE V. — LOGARITHME NÉPÉRIEN ET FONCTION EXPONENTIELLE. 219

indirects par lesquels les calculateurs habiles savent abréger leur travail.

Les logarithmes sont en général des nombres incommensurables dont les Tables peuvent seulement contenir des valeurs approchées. Le degré d’approximation dont on se contente est déterminé par cette condition générale, que les erreurs, dont l’emploi de logarithmes inexacts peut entacher les résultats des calculs numériques, puissent facilement étre maintenues audessous de celles que pourrait faire commettre la mesure directe des grandeurs physiques correspondantes. Les meilleures Tables usuelles donnent les logarithmes avec sept décimales exactes ; si les artistes parvenaient à augmenter beaucoup la précision des instruments de mesure, il faudrait, pour n’en pas perdre le bénéfice, augmenter parallèlement l’approximation des Tables.

212. La fonction L(m, x) étudiée dans le Chapitre IIT s'exprime très simplement au moyen de l’exponentielle et du logarithme népérien. D'après ce que nous avons vu au n° 85, le premier développement de cette fonction est

x DT ml(x m2[/(x)12 fm 1+ }= + 0 + MERDE = env

car la sérié représentée par T n’est pas autre chose que ÀA(1 +6) qui fournit le premier développement de {(x) (171, I). On à donc identiquement, au bout de tous les chemins imaginables,

(2) dimie)= enAPERGIMNEN.

Comme l’exponentielle est indéfiniment olotrope et que le logarithme népérien ne cesse de l’être (localement) qu'en æ — 0, cette valeur de æ est la seule qui soit critique pour cette fonction composée. En étudiant la fonction Ÿ, nous avons vu ce qui S'y passe quand nt est réel (102 et suie.).

Pour M imaginaire, cette fonction n'y est jamais olotrope; car l’adjonction à un chemin quelconque, d’un anneau direct enveloppant le point x —0 augmente /(x) de 274 et, par suite, multüplie la fonction par e"*, facteur qui ne peut être égal à 1 — e0-2% puisque lt n'est pas un nombre entier (204).

On notera la relation P(m) — eM2Ti

provenant de ce que le facteur en question se confond nécessairement avec le multiplicateur ®(m) du n° 90. |

Pour rappeler à la fois les propriétés caractéristiques de cette fonction, identiques à celles des monomes à exposants entiers ou fractionnaires, et aussi les valeurs qu’elle prend quand M est réel commensurable, on écrit |

d(m, T) — eml(x) — æn,

212 bis. La formule (2) rend facile la discussion de +" pour des valeurs de x infiniment petites ou infinies. En supposant par exemple M réel non = 0, puis appelant £ le module de x, et /(E) la détermination réelle de son logarithme, on trouvera immédia-

tement modætt — em/(é),

où l’exposant est toujours infini, offrant le signe final + quand x est infinie avec M0, ou bien infiniment petite avec M<o, offrant le signe final — quand x est infinie avec M Lo, ou bien infiniment petite avec M > 0. Gette fonction est donc infinie ou infiniment petite, selon qu'il s’agit des deux premiers cas ou des deux derniers.