CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPES

nécessaires pour calculer effectivement toutes les racines de l'équation entière (1). Mais auparavant, et vu l'importance de la question, il n’est pas sans intérêt de voir qu’à lui seul ül suffit, dans le cas qui nous occupe, pour établir l'existence de quelque racine appartenant à l'équation (1), c’est-à-dire l'équivalent de la proposition fondamentale du n° 9.

1. Comme f’(u) est indéfiniment olotrope et non identiquement nulle, l'équation

n a, dans un espace limité, que des racines en nombre limité (4), et l’on peut trouver sans la moindre difficulté une quantité wo don-

nant J'(uo) non — 0.

Cette quantité ayant été choisie à volonté, nous poserons

(4) fu) = 2;

et nous appellerons R; une quantité positive quelconque supérieure à modo.

IL. Comme modf(u) est toujours infini en même temps que mod w (150*), on peut assigner une quantité positive R, telle, que pour

modu=R, on ait toujours

(5) modf(u) > Rz> modæ,.

IIT. Dans les plans servant à la notation graphique de w et de (6) | æ = f(u),

décrivons, des origines O,, O. pour centres, avec R,, R> pour rayons, les cercles.

(7) [ Os; R; |, [Oz,; Rx]

dont le second contient évidemment x,, dont le premier, par suite,

contient &o, Sans quoi et à cause de l'inégalité (5), &o[= f(wo)] serait extérieur au second.

L'équation (3), ne pouvant avoir, à l'intérieur du premier cercle, que des racines en nombre limité, parce que f'(u) y est olotrope mais non identiquement nulle, n’y possède à plus forte raison qu'un nombre limité de racines

(8) RS MR faisant tomber à l’intérieur du second cercle les quantités

(9) (bat, 08 0, PRATEeme

Si l’une de ces quantités a( est nulle, l’équation (1) possède la racine Bb, conformément à l’énoncé du théorème du n° 9 que nous avons en vue.

IV. Si, au contraire, toutes les quantités (9) sont différentes de o, appelons », une quantité positive inférieure aux distances des points correspondants soit à l’origine x —0, soit à æ, soit à la circonférence | Oz, R; ] ainsi qu'aux moitiés de toutes les distances mutuelles des mêmes points.

À cause de la continuité de f'(u), on peut assigner une autre quantité positive p4 inférieure à la fois aux plus courtes distances des points (8) à la circonférence [O,, R, |, aux moitiés de toutes leurs distances mutuelles et, en outre, assez petite pour que, quel que soit z, le module de

FLO + 4] — fbE] = FLO + Æ]— a®

soit inférieur à p4 toutes les fois que mod # est £ po.

Il est clair que les cercles de rayon commun p,, qui ont les points (8) pour centres, sont tous extérieurs les uns aux autres mais en même temps intérieurs au cercle [O,, R, |, que les cercles de rayon px, ayant les points (9) pour centres, offrent la même disposition par rapport les uns aux autres et au cercle [O;, Rz}, qu’en outre aucun de ces derniers cercles ne contient les points z—=%6, x —0. Il est clair, par suite, que l’ablation faite aux cercles (7), de ceux qui viennent d’être définis respectivement, laisse deux aires limitées (perforées)

Sy) Se

GHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPES. 15

jouissant de cette propriété que la première ne contient aucune racine de l'équation (3), que la seconde contient les points x = x,, æ=—=0 pouvant y être réunis par une ligne brisée dont les côtés sont de pelitesse arbitraire, qu’enfin le point (6) est toujours en dehors de la seconde quand w est en dehors de la première.

V. Cela posé, la fonction implicite w que fournit la résolution de l’équation finie

JS u) NU 1,01 accompagnée de la condition initiale U — y; pour T0

rendue admissible par légalité (4), est localement olotrope dans toute l’aire S; (310*), parce que le premier membre de cette équation est fonction olotrope de x, u dans cette aire et dans S,, parce que f’(u) sa dérivée partielle par rapport à w ne peut s'y évanouir et parce que la valeur de w ne peut sortir de S, aussi longtemps que x reste dans S2.

Il suffit donc de calculer la valeur de & au bout d’un chemin tracé arbitrairement de x = x, à x = 0 dans l’aire S,, pour obtenir une racine de l'équation (1); c'est ce que nous voulions prouver.

16. Une méthode élémentaire bien connue permettant de décomposer l'équation entière quelconque (1) en d’autres n'ayant toutes que des racines simples respectivement égales, pour la première aux racines simples de l'équation proposée, pour la seconde, la troisième, ... à ses racines doubles, triples, ..., nous pouvons admettre que cette équation n'a que des racines simples et procéder comme il suit à sa résolution effective.

I. En supposant connues les racines (ro) br, b”, de l'équation (3) qui n’est que de degré effectif M — 1, en appelant (1 1) a’, a”, .., a(G)

celles des quantités f(b)=— a (toutes non nulles) qui sont numériquement distinctes, en désignant toujours par #, une valeur de w

non égale à quelque terme du groupe (10) et par la quantité f(uo), il est évident que la fonction implicite définie cidessus (15, V) est localement olotrope aussi longtemps que x ne prend aucune des valeurs (11), et qu’à partir de chaque nouvelle valeur initiale æ; de cette variable, son développement en série entière par rapport à æ—x; admet pour rayon de convergence toute quantité positive inférieure à la plus courte des distances

de x; aux points (11) (201*).

II. On obtiendra donc les M racines cherchées (11) en calculant les valeurs de cette fonction implicite au bout de tous les : chemins tracés de x = æ9 à x — 0 sous la seule condition que les longueurs de leurs côtés n’excèdent jamais les rayons de convergence indiqués ci-dessus (1). |

Comme deux de ces chemins conduisent toujours à la même valeur finale quand ils ne sont séparés par aucun des points (11)(4173*), on se bornera naturellement à la considération de ceux que un ou plusieurs de ces points sépareraient, et l’on s'arrêtera quand on aura obtenu M valeurs finales inégales.

III. La résolution de l'équation (1) étant ainsi ramenée à celle de l'équation (3), dont le degré est moindre d’une unité, et à des développements en série en nombre limité, toute équation du premier degré étant d'autre part immédiatement résoluble, on voit ainsi que des développements en nombre limité fournront toujours toutes les racines demandées.

IV. Au lieu de chercher les diverses racines par des cheminements exécutés sur des chemins différents, on peut évidemment en calculer une seule a, sur un chemin quelconque, puis chercher de la même manière une racine a, de l’équation

et ainsi de suite.

V. On notera que le tracé de chemins praticables exige seulement une connaissance suffisamment approchée des quanutés (11) [ou (10)]. Chacun des deux procédés ci-dessus peut donc fournir exactement les racines de l’équation (1), aussitôt qu'on