IX. Les séros de tangx sont les quantités réelles (15) KT

Zéros simples de 1 — e2* numérateur du second membre de la formule (10). Tous sont donc simples aussi.

X. Pour des valeurs réelles de x, tangæ est toujours réelle. C’est ce qui résulte du calcul du second élément de tangæ, exécuté au moyen de la formule (10), dans cette hypothèse qui rend mode? — 1 (201, Il), ou bien encore de l’équation différentielle : génératrice (5) et de la condition initiale (6) où tout est réel (28 bis).

Ajoutons qu'alors tangæ est sans cesse croissante, car sa dérivée première est toujours positive en vertu de l’équa-

tion (5) (19) DIS La fonction inverse arc tang x est la racine w de l'équation

tans U =:

Elle s'exprime immédiatement par des logarithmes, à l’aide de

la formule (5) que la permutation de æ, u et l'attribution à C de la valeur (8) changent en

(16 M AE LE RE 2268 Pour Ye us) ie FN EE CE Re)

Les phases singulières de cette fonction correspondent aux

valeurs de x qui annulent l’une ou l’autre des quantités soumises au signe { (187), c'est-à-dire à æ = Æ £.

Ses diverses déterminations sont

U + =; mori=Ôu-tmr (185).

Tous les chemins conduisant de x, à X, valeurs de x non = 4, sont réductibles à l’un d’entre eux précédé de boucles enveloppant une fois, les unes le point #, les autres le point — £. L’adjonction d’une boucle du premier genre, parcourue dans le sens direct ou rétrograde, augmente de + la valeur finale U de arctang, parce que la quantité æ — # fait alors un tour direct ou rétrograde autour de sa propre origine (126), et que /(x — 1) augmente de +oné (173). L’adjonction d’une autre boucle augmente Us

de 7, parce que le logarithme correspondant est précédé du signe —.

LE