CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES

de la longueur d’un arc de cercle en fonction des coordonnées rectilignes de ses extrémités; ce sont les seules dont nous nous occuperons dans le présent Chapitre.

Si n—2, c'est-à-dire si À — 3 ou — 4, les mêmes intégrales sont dites elliptiques, parce qu’on en rencontre toujours une en calculant de la même manière la longueur d’un arc d’ellipse; nous en parlerons longuement dans les Chapitres VIIT et suivants.

Pour n => 2, c'est-à-dire pour £ > 4, on a les intégrales ultraelliptiques; nous n'avons pas à faire leur étude qui se rattache à la théorie générale des intégrales abéliennes.

226. Le calcul des-intégrales circulaires est dominé par cette observation générale, que toutes sont exprimables au moyen des fonctions rationnelles, radicales et logarithmiques étudiées dans les Chapitres qui précèdent celui-ci. En conservant pour (x) la notation du n°293, et en représentant par Y(s) comme au n° 224 quelque composante rationnelle et logarithmique, provenant de l'intégration d’une certaine différentielle rationnelle en s, on a effectivement cette proposition.

L'intégrale (1), supposée circulaire, a pour expression :

SEX — I, (18) (Var biz) =Y[Ve(r)]; st k — 2, À ob res b; Go) e (s AE bee ete]

I. En supposant Æ — 1, appelant s une nouvelle variable d’inté-

gration, et posant

| di + 0x = s?, L | \ d’où

2 a (20) 1h — +, dx = = ds,

l'intégrale (1) se change en

RFC s) ds,

MPNIC. | 16

et la fonction de s placée maintenant sous le signe Jséat rationnelle. Cette dernière intégrale est donc de la forme Y(s), et la

substitution inverse $ = V&: + bio ve(x) conduit bien pour la proposée à l'expression (18).

II. En supposant enfin Æ—°2, nous exécuterons d’abord la deuxième substitution du n° 223 en prenant

x =, Die) ÿ = 9; DÉC ET

pour annuler le coefficient de £ dans le second facteur de Ÿ(4), c’est-à-dire en faisant

Il vient ainsi d(r)— Da bi + bi(@1 ba — a2bi)t,

moyennant quoi (I) l'intégrale (1) exprimée en fonction de £ est de la forme

"Vo bi + bat: 2 — abi)é].

Il suffit maintenant de transformer cette fonction par la subsutution inverse de (21), savoir

(| = ————) 2 — Dax

pour obtenir l'expression (19).

297. D'après ce qui précède, 1l est évident qu’en composant la

substitution (21), rationnelle et du premier degré en £, avec la substilution entière et du second degré en 5,

s2 — bb; .

ba(@1 02 — 201)

ti

c'est-à-dire en exécutant une seule substitution rationnelle mais du deuxième degré en s, on rend rationnelle dans le dernier des cas ci-dessus la différentielle de l'intégrale circulaire considérée. Comme la substitution (20), qui jouit de la même propriété dans le premier cas, est aussi rationnelle (même entière) et du deuxième degré, une substitution convenable de cette sorte peut toujours

CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES. 243 ramener le calcul d’une intégrale circulaire à l'intégration d’une différentielle rationnelle.

Cette remarque est la base des procédés en usage pour le calcul prauque des intégrales circulaires; mais ce que nous avons à en dire sera mieux placé dans notre troisième Partie.

228. On peut exécuter aussi le calcul d’une intégrale circulaire, en la ramenant d’abord à ses intégrales fondamentales par la réduction expliquée au n° 294, puis en appliquant à ces dernières, qui sont fort simples, la méthode du n° 296.

1. Pour Æ —1,1l y a une seule intégrale fondamentale que nous écrirons

n) LUS Ie a)ÿG(u— a)

en appelant désormais w la variable d'intégration et G, &, à trois

constantes, la première non — 0, les dernières inégales. La substitution

uU—= à + 5?,

d’où du =" 48

change cette intégrale en

= f 2 ds ! ÿ c fi I se VG (ue d) 7 J S—Vi—a ot)

PAM ls—va—a ANS VG(a— a) (et re

La substitution inverse s — Vus donne pour expression définitive de l’intégrale cherchée (22)

L ’ Vu—a—yn— a me VG(a— a) VU TAN à À

IL Pour Æ— 2, il y a une seule intégrale fondamentale de première espèce et une seule aussi de dernière espèce, que nous

éCrirons respectivement

(24) sit ,

J VG(u—a)(u—d) (25) du ne De ee 2

où les constantes G, a, b, a sont la première non —=0; les trois

autres toutes inégales.

1° La substitution (21), qui est 1ci

1 + bi U —= ,

d’où

du== Se GR

change l'intégrale (24) en

dt

c’est-à-dire, au signe près, en ce que devient l'intégrale (22) quand

on y remplace u, G, a; À par é, G(b— a), ——3; o. Cette der-

nière a donc pour expression (1)

an I 17 I A7 re DS BE

que la substitution inverse { — UE change facilement en

u — & \ BUS I a + b l -c= ile + Vu d|+c

29 L'expression de l'intégrale (29) s’obtiendrait de la même

manière; mais on opère plus rapidement en y faisant la substitu- ? I > A e D Re \ , Là uonu—û+.-; qu la ramène immédiatement à la précédente. Le

résultat de ce calcul n’a rien d’intéressant pour nous.