CHAPITRE VI. — FONCTIONS CIRCULAIRES
après l’avoir mis sous la forme (14) BL + BX(x—a)+ BA (x —a} +...+ BL (x — ay,
nous distinguerons deux cas.
1° ST A est un zéro de o(x), le polynome (14) est divisible par æ — 4, mais non par (x — a})?; car le quotient de sa division par x — est
x +1 2% ni L P(æ),
; ; 3 expression qui, pour æ—û, prend la valeur (— { + = )e'(n)
essentiellement différente de zéro, puisque (x) n’a pas de zéro multiple et que ‘ est un entier. On a donc B#—o, BYnon — 0, et la relation (13) devient, après intégration, dx a dx or Xti y — BY 2 se B'X :
NS EE EPA (LEE Léneà
, : 1x D) CRT in mx Dies ne
Ici faisons successivement y — 2, 3, ..., Q, Q +1, en appelant Q la plus grande valeur de l’exposant q dans celles des inté-
grales (10) impliquant des puissances du même binome x — «. Il viendra Q équations du premier degré, permettant d exprimer linéairement au moyen de
(15) PR ANR CR A) 2 ER ET a) 0 >
et des intégrales
(16) VE IE, 1 ee, dj LA #
lesquelles s'expriment linéairement d’elles-mêmes au moyen des
intégrales fondamentales (7), les Q intégrales de la première des formes (10) où g a les valeurs 1, 2, ..., Q (en particulier celles que nous avons à considérer). Effectivement le déterminant des coefficients de ces Q intégrales se réduit à B?BŸ ... BR+1), quantité encore non — 0.
20 S1 à n'est pas un zéro de w(x) et si y est >1, le coefficient B du polynome (14), savoir (— 7 +1)o(u), est essentiel-
lement différent de zéro, et l'intégration de la relation (13) donne
dx
1x LÉRRAU TE TES BD fs + (æ a) À SA B; és a){y Fr ? 4 F (Pie a){—1y Ç 1x ant ML ral ; D] ay
En faisant ici 4 —=2, 9, -.., Q, il viendra Qu équations simultanées du premier degré, où le déterminant BB... BP
des coefficients des Q — 1 intégrales de la première des formes (10) dans lesquelles g a les valeurs 2, 3,0: SON nul; par suite on en pourra Lirer celles de ces intégrales où g 1 en fonctions composées linéaires de
(7) (a) ty; (0) YA NES
des intégrales (16), par suite des intégrales fondamentales (7), et finalement de l’autre intégrale fondamentale (3).
V. Si l’on opère de même pour toutes les autres intégrales (10), et si l’on réunit tous les résultats obtenus, on arrive bien à la formule de réduction spécifiée dans notre énoncé; car le groupe des expressions (12), et (19) ou (17) selon qu’il s’agit du cas 1° ou "+ de l'alinéa IV, donne ce que nous avons appelé v(æ)y:
993. La proposition précédente a une grande importance parce qu’elle ramène toutes les intégrales (1), où le polynome #(x) est le même, aux expressions (5), (6) qui sont connues, et aux intégrales fondamentales (7), (8) qui ne le sont pas, mais dont le nombre est essentiellement limité, si du moins on considère comme se confondant dans leur essence, les déterminations de l'intégrale (8) qui correspondent aux diverses valeurs du paramètre A.
La facilité extrême avec laquelle le théorème du n° 223 permet de passer de celles des intégrales (1) où À — 2n—1 à celles où k — on, et inversement des dernières aux premières, à fait ranger les unes et les autres indistinctement, dans une seule classe caractérisée naturellement par la valeur correspondante du nombre 7.
Quandonan—1,cest-à-dire £=1 ou = 2, les intégrales (1) sont dites circulaires, parce que l’une d'elles fournit l'expression
nT
