CHAPITRE I. — FONCTIONS OLOTROPES

négatif avec m impair. Donc le produit finit par être toujours de quelque même signe.

19. En x — a, la fonction f(x) est dite croissante ou décroissante, selon que pour des valeurs positives attribuées à A le signe final de l’accroissement (2) est + ou —. Le théorème ci- Re montre immédiatement qu’il y a croissance ou décroissance selon que la première des dérivées de f(x) qui n’est pas nulle en a est positive ou négative.

Comme, dans l’intervalle considéré, f(x) ne peut s’annuler que pour des Durs de x en nombre essentiellement limité, sans quoi elle y serait identiquement nulle (4) et f(x) dégénérerait en une constante, cest le signe de cette dérivée première qui, habituellement, servira de criterium.

20. Pour que le signe final de l’accroissement (>) soit indépendant de celui de X, il faut évidemment et il suffit que m, ordre de la première des dérivées de f(x) qui ne s’annule pas pour x — à. soit un nombre pair; il faut donc en particulier QUE} 0. Comme 2’? est alors toujours positif, ce signe final est celui même de f{#/(a). Selon qu’il est + ou —, on dit qu’en a la fonction est minimum où maximum. On se trouve ainsi dans le premier ou le second de ces deux cas, selon qu’on a f(#)(a)Zo. Dans la troisième Partie de cet Ouvrage, nous approfondirons les considérations de ce genre.

21. Dans l'intervalle X’< X’, la fonction f(x) est dite croissante ou décroissante, selon qu’elle jouit soit de l’une de ces propriétés, soit de l’autre, pour toute valeur de x tombant dans cet intervalle.

Si f(x) est croissante dans l'intervalle en question, on a l’inégalité