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Supposons d’abord que f(x) ne s’évanouisse jamais entre X’ et X”, cas auquel (186*) on peut y assigner à sa valeur absolue

quelque limite inférieure fixe {<o, et écrivons d’après la for-

mule de Taylor (4) f(æ+h)—f(æ)= AL" (æ)+ ho, h)].

Nous savons (200*) qu’on peut assigner à modo(æ, h) quelque limite supérieure fixe px, pour touLes valeurs de æ tombant dans l'intervalle considéré et de k numériquement inférieures à quelque quantité positive e. À partir du moment où la valeur absolue de À sera inférieure à une quantité posilive ñ inférieure elle-même à la

® \ x [ L 3 fois à e et à —» le dernier facteur du second membre de la rela-

tion (4) aura le signe de f'(æ), savoir le signe + puisque f(x) est supposée croissante, el si l’on prend À > 0, ce second membre sera aussi positif.

En partageant donc l'intervalle considéré par des points de division Lis Los ++, &g en nombre limité, et donnant

0 mi = XCD LOS Te TUMEENTPRENNES oO < X"— Te Lo;

ce qui est évidemment possible, la relation (4) conduira successivement à fR+ a) - FR) = fn) =) 20:

f(æ2) = JF (r10)22408

na 0e 0 0e is ie 4 sa ser Ee

JIX") — ft) 7 0:

d’où l'inégalité (3) par une addition membre à membre. ;

Supposons enfin que f'(æ) s'évanouisse entre X', X', et soient ai! GS MES ENCARECEREnAT ordre de grandeur, les zéros qu’elle y possède, en nombre essentiellement limité (4). Comme fai +h) finit par conserver le signe + quel que soit celui de l'accroissement infiniment petit À puisque f(x) est croissante, 1l faut que la première des dérivées de f'(æ) qui n'est pas nulle en « — a, soit d'ordre pair (20), c’est-à-dire que la première de celles de f(x) qui jouit de la même propriété soit d'ordre 1mpar 2q +1. il faut de plus que ft23F0(a,) soit positive à cause de la croissance de f(x) en a. La formule de Taylor donne ainsi

fa + h)— fidi) = RAITI(A He),