Les formules (3) donnent encore
2 COS x = (eix + e—ix)m,
2m sin — (eix ce er ix )m L
Le développement des seconds membres, suivi de l’accouplement des termes où les exposants de e sont opposés, donne cos” x en fonction composée linéaire des cosinus des quantités mx, (m—2)x, (m—4A)x, ..., et sinx exprimé de la même manière au moyen des cosinus de ces quantités quand 7» est pair, de leurs sinus quand mn est impair.
247. La propriété de la fonction exponentielle, d’avoir des valeurs en progression géométrique quand celles correspondantes de la variable sont en progression arithmétique (199), jointe à la facilité de la sommation des progressions géométriques, permet de sommer, facilement aussi, les valeurs du cosinus ou du sinus qui correspondent aux valeurs de +,
GR) à 62h NO E mn.
Pour <o, la sommation de la progression géométrique suivante conduit à : 1 k eila+(m+1)41 Lia iLee(m+ Mi] (a)
ia + eila+h) +. ..—eila+mh) — + ei —]}
RC hd 2 1 Sin —
PA
d'où, en changeant a, h en — a, —},
; 1 ; h —i[ a+(m+ = je | —1 (a é ) e pi 2/4 fs © NN
LNRTA 21 Sin —
e—ta + e—ila+h) has > CANAL
Si l’on ajoute ces égalités membre à membre, il viendra, en vertu de la première des formules (Es
cosa+cos(a+h)+...+cos(a+ mh)
: K 1 4 hk\ mh\ . (m—+rh sin a+(m+ h|— sin a COS ( a+ — ) Sn 2 2 2
Re h
2 sin— sin — 2 2
Si l’on retranche la seconde de la première, on trouve une formule analogue pour la sommation des valeurs correspondantes du sinus.
Chacune de ces formules fait retrouver l’autre, quand on la différentie par rapport à &. Différentiées indéfiniment par rapport à #, elles conduisent à une foule d’autres inutiles à consigner ici.
