CHAPITRE VIE

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES EN SÉRIES DE FRACTIONS SIMPLES ET EN SÉRIES FACTORIELLES.

Généralités sur les fonctions unipériodiques.

251. Maintenant nous aurons à employer fréquemment le moyen d'investigation spécial dont nous avons fait connaître le principe au n° 49.

Comme sa mise en œuvre implique essentiellement la considérauon des infinis et des zéros des fonctions à comparer, comme, d'autre part, les fonctions dont nous aurons à nous occuper sont périodiques (204), il faut avant tout étudier avec soin les caractères généraux imprimés par la périodicité à la distribution de ces quantités et aux autres particularités les concernant.

Sauf mention du contraire, nous supposerons expressément que les fonctions périodiques dont nous parlerons sont indéfiniment méromorphes (ou olotropes) et ne dégénèrent pas en des constantes.

Pour une fonction de cette espèce f(x), nous appellerons deux valeurs données a, b de la variable (et aussi les points correspondants) congrues ou incongrues selon sa période I], suivant que la différence a — b est ou non de la forme ml, m désignant

quelque entier (positif ou négatif).

292. Si les valeurs initiales x5, x\% de x sont congrues, les termes semblables dans les développements de

f(to+h), f(x +R),

en séries procédant suivant les puissances de h à exposants entiers, les premiers éventuellement négatifs (37), (56) sont respectivement égaux.

Car, à cause de a + h = 0 + h +(2x 0 — vo) = Lo + + MIT,

l'identité fondamentale

(1) f(x + mi) = f(x)

donne, quel que soit h, 2) f(x V + h) = f(xro+ h),

ce qui entraîne évidemment l'égalité numérique des coefficients dont 1l s’agit.

En particulier, toutes les dérivées de f(x), suelle est olotrope, ont en x, et x() des valeurs égales; si xÿ est un zéro ou un infini, æ(® est aussi un zéro ou un infint de même degré de multiplicité, et dans ce dernier cas avec le méme résidu, etc.

953. Si, dans les mêmes développements, les coefficients des termes semblables sont respectivement égaux, la différence x) — x, est une période de f(x).

Car alors l'identité (2) a lieu pour toutes les valeurs de À à modules suffisamment petits, puis s'étend par voie de cheminement à toutes les valeurs imaginables de cette quantité (177*). En faisant donc À — x — x,, elle donne, quelle que soit x,

fie +(a0—2)]=f(œ),

ce qu'il suffit évidemment de prouver.

934. Toute période I de f(x) appartient à ses dérivées de tous ordres. La différentiation de l'identité fondamentale (1) donne effectivement pour toute valeur de l'indice Æ

f(x + ml)=f#(x).

On remarquera bien qu’une fonction n’admet pas nécessairement une période appartenant à sa dérivée. Soit effectivement f(æ) une fonction douée d'une période; f'(æ) en est douée aussi comme nous venons de le voir, //(æ)+ G pareillement; cepen-