CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

valeur »# pour le groupe des déterminations de x qui à chaque instant tombent dans la même bande; car, à cause de la périodicité de f(x), aucune détermination de x ne peut évidemment sortir de cette bande sans qu’une autre n’y pénètre en même temps avec le même degré de multiplicité.

En w— w., et pour celles des valeurs correspondantes de x qui sont alors infinies, ces conclusions s’évanouissent; effectivement les considérations du dernier paragraphe du Chapitre IV supposent essentiellement que l’équation (10) puisse être transformée en une autre à premier membre olotrope en x'— 0, par la

ROME 1 , ; substitution x — à (accompagnée HOT — 5 quand la valeur

considérée de uw est infinie). Or cette transformation est ici

impossible, à cause de la singularité de nature essentielle dont

J(æ) est affectée à l’infini (259).

266. L’entier m se nomme l’ordre de la fonction unipériodique polarisée f(x), relatif à la période EH à laquelle correspondent les bandes considérées. Relativement à la période Æ ul, l’ordre de f(x) devient naturellement y; pour une période élémentaire, 1l à donc sa valeur minimum qui est l’ordre absolu de cette fonction.

Quand aucune des valeurs polaires (8) n’est nulle, l’ordre est égal à la somme des degrés de multiplicité, dans une même bande. des racines de l'équation

c'est-à-dire des zéros de f(x).

Quand elles ne sont infinies ni l'une ni l’autre, aucune ne s’éva-

nouit pour > fonction indéfiniment méromorphe comme f(x)

] ie J(æ) et de même période ainsi que de même ordre évidemment. L'ordre de f(x) est donc égal aussi à la somme des degrés de multiplicité,

: ° F. I dans chaque bande, de ses infinis, zéros LEE Quand ces deux circonstances se présentent à la fois, chaque bande de f(x) contient des zéros et des infinis dont les degrés de multiphcité offrent des sommes égales entre elles et à l’ordre mn

ME CTT. 18

de cette fonction, ce qui la rapproche des fonctions bipériodiques (320, énf.).

Par exemple, e? ayant 0, © pour valeurs polaires est d'ordre absolu 1 sans avoir aucun zéro ni infini dans sa bande élémentaire; sinx dont les valeurs polaires sont infinies, est d'ordre absolu 2 et a dans sa première bande élémentaire les deux zéros simples 0, 7, sans infini; même chose pour cosx ayant les zéros simples 7, 5 Tr. Pour tangw, dont les valeurs polaires Æ 1 ne sont ni nulles ni infinies, la première bande élémentaire contient le seul zéro simple o, le seul infini simple 1r, et l’ordre absolu est 1; particularité semblable pour cotx. |

Naturellement ces notions ne sont pas applicables aux fonctions unipériodiques dépourvues de polarité, comme celles dont nous nous occuperons plus tard (374, inf.); mais elles le sont à celles dont nous parlerons jusqu’à la fin de ce Chapitre, parce que nous les supposerons essentiellement polarisées.

97. Le théorème suivant peut être utile, mais surtout il établit une nouvelle analogie entre les fonctions unipériodiques polari-

sées et les fonctions bipériodiques (Cf. 328, enf.).

En appelant f(x) une fonction unipériodique de période M, aux valeurs polaires u,, u, toutes deux finies, et & son résidu intégral dans une bande quelconque (56), on a la formule