CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

périodes IT, ul, les directions polaires de même nom sont identiques ou opposées selon que le muluplicaiteur æ est positif ou négatif. En paruculier, elles sont toujours opposées pour les périodes équivalentes IT, — IT.

Il y a grand intérêt à considérer la manière dont la fonction unipériodique varie quand la variable devient infinie d’une manière quelconque dans l’une des directions polaires ou bien dans l’autre : pour une direction donnée elle peut être indéterminée; elle peut aussi être déterminée, c’est-à-dire tendre vers quelque même limite où bien devenir infinie, Dans ce dernier cas, nous dirons que la fonction a pour valeur polaire (boréale ou australe) cette limite ou bien l'infini.

Les fonctions unipériodiques les plus simples sont celles qui sont ainsi polartisées, c’est-à-dire douées de valeurs polaires tant boréales qu’australes. Telles sont, en particulier, celles que nous avons déjà citées comme exemples.

Relativement aux périodes + 2r£, + 7, + 2r, et en donnant aux bandes les formes du n° 263, la direction boréale est : pour e*, celle de la partie négative de l’axe des quantités réelles; pour tangx, cotx, sinxæ, cosx, celle de la partie positive de l’axe des seconds éléments. Relativement aux mêmes périodes, les valeurs polaires, boréales et australes, sont : 1°, o et æ, pour ef; 9°, +7 D ZpournianpT; 9°, — cet +7, pour cotx; 4°, el oo, pour sinæ et aussi pour cosæx (201, I), (217, V), (220), (238).

Plus généralement, toute fonction R(et?) rationnellement composée de l’exponentielle e%* est unipériodique (263) et polarisée. Car on obtient évidemment ses valeurs polaires (indistinctement) en faisant successivement w — 0, et w infinie, dans la composante rationnelle R(w).

265. St la fonction unipériodique f(x) est polarisée avec (8) LUE

pour valeurs polaires, et si la quantité u, n’est égale à aucune de ces deux-ci, l'équation numérique

(9) J(&)= Uo

offre dans une méme bande des racines distinctes dont le nombre est essentiellement limité.

Si, en outre, m désigne la somme des degrés de multiplucité de ces racines, laquelle est évidemment la même pour toutes les bandes, l'équation |

(Go) J(&)= u,

résolue numériquement par rapport à æ, pour toute valeur U de u non égale à l’une des quantités (8), aura dans chaque bande des racines distinctes ayant le même nombre m pour somme de leurs degrés de multiplicité.

et l'équation (9) avait dans la bande considérée les racines

distinctes li, 2; ss Pi #'aite

en nombre illimité, des valeurs infinies de l'indice & rendraient certainement x; infinie, car autrement la fonction méromorphe f(x) — us posséderait une infinité de zéros dans quelque portion limitée de cette bande, ce qui est impossible. Certaines valeurs de æ, infinies dans une direction polaire, rendraient donc f(x) constamment égale à w, et donneraient par suite im /f(x)= wo, tandis que par hypothèse f(x) tend toujours vers l’une ou l’autre des quantités (8).

II. La deuxième partie de ce théorème est une conséquence immédiate de ce que nous avons appelé le Principe de la consereation du nombre des racines (168).

Nous savons effectivement (48) qu'en u = U, l'équation (10) na pas d’autres racines que les valeurs finales acquises, au bout des divers chemins conduisant de #4 à U, par les racines variables ayant pour valeurs initiales les racines de l'équation numérique (9). Or le cheminement peut être pratiqué sur tout chemin ne contenant aucune des quantités (8), parce que æ n'y devient jamais infinie ; et, pendant tout son cours, la somme des degrés de multiplicité conserve la valeur constante 77 pour le groupe des déterminations de æ qui partent en u = w,, avec des valeurs initiales égales aux racines numériquement distinctes que l'équation (9) offre dans la bande considérée. Cette somme conserve donc aussi la même

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