ND UP RAD) AA

de période IT, d'ordre »m évidemment aussi, ne dégénère pas en une constante, que ses valeurs polaires sont toutes deux finies et -<o. En prenant donc pour (x) quelque expression de la

forme (17),on a (1) {(2) Got),

identité dont la résolution par rapport à CA) fournit cette fonction sous la forme voulue.

IT. Quand F(x)ne se réduit pas à l’exponentielle de l’alinéa I, cette fonction est, par ce qui précède, exprimable au moyen d'elle par une fonction composée rationnelle la contenant au degré effectif 1, dans l’un de ses termes, au degré effectif 1 ou o, dans l’autre terme. Inversement par suite, cette exponentielle s’exprime d’une manière semblable au moyen de F(x). Cela posé, il ny a qu'à remplacer l’exponentielle par cette expression dans celle de f(x) au moyen de l’exponentielle (1), (IL), pour obtenir celle de f(x) en F(x) que nous cherchions.

IV. Du point où nous nous trouvons, on passerait sans difficulté au cas général de notre théorème; il suffirait d'exprimer rationnellement au moyen d’une même fonction du premier ordre à période égale (de l’exponentielle ci-dessus par exemple) les fonctions données f(x), F(x) d'ordres quelconques, puis d'éliminer cette fonction auxiliaire entre les deux identités ainsi obtenues. Mais il serait oiseux d’insister.

269. La possibilité de représenter toujours la fonction unipériodique f(x), de période II et d’ordre 7, par une fonction rationnelle |

AprFP"+...+ AFP" By F9 +...+ By F9

contenant l’exponentrelle

aux degrés effectifs, 77 dans l’un de ses termes, »m ou moindre dans l’autre terme, a diverses conséquences qu'il est utile de noter.

Dans le numérateur et le dénominateur de l'expression, nous avons mis en évidence les termes effectifs extrêmes, et nous supposons p/> pl, g" > q'. L'un au moins des exposants p”, g” est égal à m, l’autre 2m; quant aux exposants p', g', ils ne peuvent tous deux être =<0o, car alors les deux polynomes seraient divisibles par F, et cette expression serait réductible, contrairement à ce que nous sous-entendons.

T. On peut écrire l'expression (13)

3 AprFP"—P" + PP on A»

7 2 Br FIRE RER

(19) EPA

et comme l’exponentielle F?-9’ n’a ni zéro n1 infini, f(x) & pour seuls zéros et infinis respectivement, les racines des équations

A pr FP"—p" + RES E À pt = O, B,r F 4/29 mme B; —= 0,

dont pour chaque bande les sommes des degrés de multiplicité sont p'— pie q'.

Effectivement, par exemple, la résolution de la première de ces équations entières par rapport à F, donnera pour cette exponentielle p'— p' valeurs (inégales ou égales) à chacune desquelles correspond une seule valeur de x dans chaque bande, parce que F(x) est comme e* du premier ordre.

II. Pour que f(x) soit dépourvue ou d’infinis ou de séros, ul