CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES. PTOL

faut donc que le dénominateur ou le numérateur du second facteur de l’expression (19) soient de simples constantes.

Dans le premier cas, f(x) se réduit à une fonction linéaire d’exponentielles de la forme Fi=F(kx), où les exposants entiers Æ (de signes quelconques) ne peuvent surpasser m en valeurs absolues.

Pour que f(x) soit dépourvue à la fois de tout infini et de tout zéro, ul faut, par suite, que les termes du méme second facteur soient tous deux des constantes; alors f(x) se réduit (à un facteur constant près) à l’exponentielle

Fr'-9 = F[(p'—g'}z|, et naturellement on a p'— g'= = m.

[HI. La fonction f(x) est toujours décomposable en une autre semblable mais dont les valeurs polaires sont finies, et en une fonction linéaire d’exponentielles ayant pour exposants des multiples entiers (éventuellement positifs, nuls et

négatifs) de . æ:

Dans le résultat de la décomposition de l'expression rationnelle (18) en fractions simples, on obtient presque immédiatement les termes en F”, FF, où les entiers 7, u sont positifs, puis, par différence, l’ensemble d’un terme constant et d’autres en (F — 4) +, où 4 =<0. Or les valeurs polaires de cette deuxième partie sont évidemment finies, parce que celles de F sont o, ©; quant à la première partie, on peut y remplacer toute puissance F/de l’expo-

nentelle F(x), par F(7x).

IV. Pour x infinie d’une manière quelconque dans une direction polaire déterminée, et pour h constant ou bien variable mais alors fini, et en appelant p(h) une certaine Jonction de h indéfiniment olotrope, on a

u CARRE AE im [A #00 ] 0 f{æ+h)

ce que nous exprimerons plus brièvement en disant que A ATA

tend vers p(h).

À cause de F(x+h)=F(x)F(A), le rapport en question est

pour le numérateur seulement de l’expression (18 ),

AprFP'[F(A)|P"+...+ AFP 'TF(A)}?

AprEP'+...—+ AFP

Il tend donc : vers [F(2)[?’, s’il s’agit de la direction boréale parce que F(x) tend vers o; vers [F(h)]?", s’il s’agit de la direction australe parce que F(x) est alors infinie. Pour le dénominateur seulement, on trouvera que les limites analogues sont |[F(k)]7, [F(2)]7”. Pour la fraction (18), on trouvera donc les limites

Ont; .

y Eu

(p—q) (pq [F(A)res=e I ,, [ECC

que nous nommerons quelquefois les raisons boréale et australe deffer).

On remarquera la valeur

ATi {(g"—q"}—(p"—p) À à am” A or “one à IL

à : . PAT du rapport des deux raisons polaires. La quantité —— h, dans

? Q 7, À à , x À l’exposant de e, y est multipliée par l'excès, pour une même bande, de q"— q',somme des degrés de multiplicité des infinis de f(x), sur p'—p', méme somme pour les séros (}).

270. Les dérivées d’une fonction méromorphe unipériodique polarisée, une fonction rationnellement composée de plusieurs fonctions de cette sorte, à méme période 1, et de leurs dérivées, sont toujours polarisées aussi. Car, les fonctions simples étant

toutes exprimables rationnellement au moyen de l’exponentielle à ami

— JC " même période el (268), leurs dérivées et la fonction composée le sont également (264, in fine).