CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

elle est le terme général est convergente, même aussi celle des modules de ses termes, pour toute valeur de + (non de la forme mil) et définit, par sa somme, une certaine fonction de cette variable. Quand z — 1, les choses ne se passent plus de la même manière, parce que la série est divergente (98*); mais, en opérant convenablement, on en déduit encore une fonction du même genre, et sur toute cette matière, on a le théorème fondamental que voici.

Pour 1292 la somme de la série doublement infinie dont (8) est le terme généralest une fonction indéfiniment méromorphe: de x, que l’on peut différentier et intégrer sur un chemin quelconque, en traitant séparément de la méme manière tous les termes de la série.

Pour i=1 et k", K" tous deux infinis, la somme

(9) ix— ml

a pour limite une fonction jouissant exactement des mêmes [/4

CNT 4 : k propriélés, pourvu toutefois que le rapport — tende vers une

fn limite K 0.

I. Supposons :22, et, dans le plan servant à la notation graphique de x, considérons une aire limitée S;; appelons S”° ce qu’elle devient quand on l’accroît d’une zone d'épaisseur supérieure à la quantité positive 0, puis À une autre quantité positive supérieure à tous les modules que æ puisse acquérir dans S’, puis enfin M un entier positif donnant MmodIT >> A.

Chacune des fractions simples (8) où w valeur numérique de 7 surpasse 1, étant développable par la formule de Maclaurin pour toute valeur de x tombant dans S’, parce qu’on y a

modæ < À < mod(mnll),

est certainement olotrope dans Sz avec un olomètre au moins égal à 0, de plus elle y a, quelle que soit æ, un module inférieur à la quantité posilive ] (uw modIl — A)?

terme général d’une série convergente à cause de t22 Onfen conclut immédiatement (273* et suiv.) que la série formée par les fractions simples dont il s’agit a pour somme une certaine fonction de æ, olotrope dans l’aire S; avec un olomètre au moins égal à Ô, et susceptible d'y être différentiée et intégrée par les mêmes opérations exécutées séparément sur ses divers termes.

La fonction, somme totale de la série dont la fraction (8) est le terme général, est donc méromorphe dans l'aire Sz, puisqu'on l'obtient évidemment en ajoutant à la fonction olotrope dont nous venons de parler la somme des mêmes fractions simples où 7» est numériquement Zi, fractions dont le nombre est essentiellement limité. Elle est donc indéfiniment méromorphe (29), puisque la formeet l'étendue de l'aire S, sont entièrement arbitraires.

IT. On a évidemment

k" k" k" T 1 ra 1 “Le I RE — Re ù À :

éd © — mil — mil æ mil(zx —' ml) — k' — k —k

où toutefois les sommations du second membre ne doivent pas s'étendre à la valeur o de m, et l’on prouvera exactement comme ci-dessus (1) que la dernière somme du second membre a pour limite une fonction de æ jouissant de toutes les propriélés mentionnées dans notre énoncé. Il en sera donc de même pour la somme (9), si seulement celle qui forme le premier lerme du second membre tend vers une limite. Or, en y supprimant les termes qui se détruisent, cette dernière se réduit à celle des inverses des termes d'un tronçon de progression arithmétique de raison — Il, termes dont le moindre module est infini et dont les