CHAPITRE VII — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES. 30! ) v

c’est-à-dire

L nu (a ete nIES I 12

L’équation différentielle (5) montre que {o(x) est olotrope aussi longtemps que E, (x); lo(x + h)est donc développable par la formule de Taylor jusqu’à un module de À égal à la plus courte distance, indéfiniment croissante, de x aux infinis mII de &, (x) (202*). On a donc, en vertu de la même équation différentielle,

k° k3 a) TT + És(T)

Lo(æ+ h)— Lo(æ)— (x) h = Ei(æ) 2 + El (æ) +...

(1) 3 FT Véraiets

à cause des relations (11) du n° 278.

Appelons maintenant n le module de 2, et supposons pour commencer n<1; appelons encore &;, pour £>1, la somme des modules des termes du développement de E;(æ) en fractions simples (277, 1). Comme x est infinie dans une direction polaire,

on finit évidemment par avoir

de plus, nous avons reconnu incidemment que Æ tend vers 0 (278, V). Le dernier membre de la relation (1r1} finit donc par

avoir un module inférieur à

par suite il tend vers o, ce qui donne

… OOCENAIIRT HN MT) 2 m5 A lim Le — hë (x) = 0 = limf/ Du n| (278, IV),

relation équivalente à celle qu’il fallait établir. Du cas où mod << 1, on passe au cas général, au moyen d’iden-

utés analogues à

o(r+hith) o(æ+h)o(æ+h+h) D) UNE Loeh o(æ + A)

VI. La fonction o(x) est polarisée, avec des valeurs polaires toutes deux infinies.

Cette fonction étant indéfiniment olotrope (285) et ne dégénérant pas en une constante est infinie pour quelque valeur infinre de x (8), que sa périodicité permet d’astreindre à varier dans une même bande. Ainsi donc o(æ) est infinie quand x s'éloigne indéfiniment dans une bande, et, à cause de la relation (6), la marche de æ peut être supposée s'effectuer aussi bien dans la direction boréale que dans la direction australe. La relation (10) montre, de plus, que si une marche à l'infini de direction donnée rend o(x) infinie, la marche correspondante de æ + h jouit de la même propriété. Or, à cause de l’indétermination de À, x + h n’est pas autre chose qu’une autre valeur de x allant à l'infini d’une manière quelconque dans la même bande et dans la même direction.

Comme les valeurs polaires de o(x) sont toutes deux infinies, l’ordre de cette fonction (266) est 2, somme des degrés de multiplicité de ses zéros simples o, Il, contenus dans sa première bande élémentaire (IL), (IV). La considération de ses raisons polaires (269, IV) conduit à la même conclusion; car, d’après la formule (10), l’exposant de e dans leur rapport est