Les propriétés essentielles de cette fonction résultent

immédiatement de son mode de génération.

I. En vertu des relations (3), (2), elle est liée à £,(x) par l'équation différentielle et la condition initiale

d (æ (5) Æ lote)= TD = He) l er) 0, où bien ee ! | pour æ = 0.

Il. Zlle a pour zéros, tous simples, les quantités ml. C’est P » Ptes,

une conséquence de la formule (4) et de l’impossibilité pour l’ex-

ponentielle de s’évanouir quand son exposant n’est pas infini.

III, On a les identités (6) o(—x)=—o(x), (7) o(æ+N)= —o(x).

La relation (5), combinée avec ce qu’elle devient par le change-

ment de x en — x, avec 0/(— x)— — Er, E(—x)= — (x)

(278, V1), donne facilement

d o(—x) dx o(x) LS d’où en intégrant (8) O(—x)=Go(x), ou bien encore o(— x) C an) — TX T

Comme l'intégrale figurant dans la relation (2) tend vers o pour

LA

limx —0, on tre de l’équation (3)

PER) 117 DT 9 bi — TL On en conclut CG — —1, moyennant quoi la formule (8) donne l'identité (6).

Le changement de’ x en x +Il dans la même relation (5) con-

duit pareillement à

(9) o(æ+l)= Co(x) à cause de E,(x +11) — Ë, (x) (278, HT). En faisant ici x = s = et ayant égard à (6), 1l vient o(>) (G+r1)=0, d’où C— — 1 parce que = n’est pas un zéro de o(æ) (IL). Cette

valeur de C portée dans la relation (9) la change en l'identité (7) qu'il restait à établir.

IV. La fonction o(x) est unipériodique avec © 211 pour période élémentaire.

D’après l'identité (7), on a o(t+2) =o(x),

et 211 est ainsi une période de cette fonction.

Mais, à cause de (5), toute période de o(x) appartient à &,(x) (255); la première fonction ne peut donc être qu’unipériodique comme la seconde, et sa période élémentaire est de la forme pli, muluple entier de celle de £,(æ). Or l'identité (7) montre qu'on ne peut avoir p— 1.

V. Pour x infinie d’une manière quelconque dans les deux directions polaires respectivement (264), et pour hk constant, ou bien variable mais alors fini, on a

o(æ+h) FT tue ED

(10) lim ES !