En appelant 0 une constante non = ml, et Q;x(x) le pro

CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES. 303 duit des 24 + rs facteurs T nr et) 0 + mlIl où mn a les valeurs — X, —{Æ—1), ...—1,0,1, ...,k, et en intégrant de o à + sur un chemin ne contenant aucun des points + mIl, on trouve, par un raisonnement identique à celui du n° 285, + N 4 (3) limlQr(æ)= je E(æ —0)dr ou bien f Etæ—0jdr limQz(x)= et à

fonction de x encore indéfiniment olotrope que nous représenterons par o(x, IT, 4). Elle se ramène immédiatement à o(x, H); car les relations (13),

(5) donnent “ d d ee lot = (re re lo(x —0,]II), d'où GO).

lo(x, HU, 0)— Zo(x—0, 11) = 7 Un) — const.

et, par suite aussi, o(æ, IT, 0) us C o(x—0, IT) Pit ture es L na ® On a d’ailleurs C — C6, 3 Parce que o(æ, II, 0) se réduit évidemment à 1 pour + — 0. Il vient donc définitivement N0 GREAT) (14) EMI PRES SCT 288. Sotent (15) Mis Mes TM ge (16) L45 (Ha CO MERENe

deux groupes d’entiers positifs quelconques, et (17) di; Nr) NN)

(18) X1, A, ORST y

deux groupes correspondants de quantités quelconques, incongrues suivant la quantité; appelons en outre À un entier —0 ou 1, selon que la différence des sommes des entiers (15), (16) est paire ou impaire. L'expression

. [o(r— a)]"...[o(xr — ag) ]"e [o(æ— a) ...[o(x — ay) JU

est une fonction de x indéfiniment méromorphe de période KI et polarisée, ayant pour zéros et infinis les quantités (17), (18) aux degrés de multiplicité (15), (16).

Le premier point est évident, parce que o(x) et l’'exponentielle sont indéfiniment olotropes.

L’addition de IT à x multiplie l’exponentielle par ei = (— rh, et chacune des fonctions o par — 1 (286, IIT); elle multiplie donc o(æ) par une puissance de — 1 dont l’exposant

À+(m+...+ Me)—(Wi+...#+py)

est toujours pair, c'est-à-dire par 1.

Le dernier point est évident parce que l’exponentielle n’a ni zéro, ni infini, et que les fonctions o(x — a), o(x — à) admettent a, à pour zéros simples (286, IT).

Quant à la polarisation de v(x), elle résulte de celle de son premier facteur et de o(x — a;), ..., fonctions qui toutes admettent la période 211 (270).

289. Réciproquement, si l’on représente par les notations (17), (18) les séros et tn finis, aux degrés de multiplicité (15),(16), de la fonction indéfiniment méromorphe f(x) à la période unique NH et polarisée, qui tombent dans une méme bande, on

aura 2H

f{æ)=Ke I g(x),

où k est quelque entier (positif, nul ou négatif) et K une constante.

Il est évident, en effet, que le rapport LD est une fonction indéfiniment méromorphe, de période unique IL, et polarisée, qui