CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

est dépourvue de tout zéro et de tout infini. Il est donc de la

2TTé PEL

forme Ke Ü (969, 11).

Cette formule fournit, pour toute fonction unipériodique polarisée, la décomposition à laquelle nous faisions allusion au début de ce paragraphe. On déterminera l’entier /: par la condition que la raison polaire boréale (ou australe) de l’exponentielle (269, IV) soit égale au quotient de celle de f(x) par celle de o(x) dont le calcul est facile (286, V). La valeur du facteur constant K se re ensuite de ce que devient la formule pour particulière n’annulant pas son second membre.

Aux fonctions o(x — di), -.., On peut y substituer les pro-

duits o(— à,, I)o(x, I, Au)y NN

L—= Lo, Valeur

290. Le développement de sinx fournit l'application la plus intéressante de cette formule. Au lieu d'opérer directement, nous substiluerons à sinx, de période 27 et d'ordre 2, la fonction I(x)= esinx, de période + et d’ordre 1 seulement, avec le zéro simple unique x — 0.

7 L "SRE Comme on a ici }— 1, —r = 26, il vient

exsinr = Kekireiro(r, +), c'est-à-dire sinx = Kek%xo(x, x).

L'expression de sinx en et donne immédiatement pour sa raison polaire boréale e-t#, égale à celle de o(x, r) (286, V);il en

résulte £ — 0. On a d’ailleurs K — : parce que les rapports —

152 tendent tous deux vers 1 quand x tend vers o (251), (286, 1).

Il vient donc définitivement