Les formules (12), (14), (19) donnent immédiatement
AE e in (x — 0)
sin (- de 0)
294. La relation (2), combinée avec la formule (20) du n° 289 et avec l’intégration à vue
cos æ d'sin x ; Cotx dx = | —— dr — | 7 = l'sinx +C, sin æ Sin æ
nous aurait conduit immédiatement à la formule fondamentale (19). Nous aurions pu également ÿ arriver plus rapidement en approfondissant d’abord la nature du produit variable Pz(x) considéré en lui-même. Mais, d’une part, l’étude d’une série factorielle (produit de facteurs en nombre infini) ne se fait bien commodément que par l'intermédiaire de la série ordinaire procédant suivant les logarithmes de ses facteurs ; d’autre part, nous aurions laissé dans l’ombre l’étroite connexité existant entre les foncuons o(x), Ë,(x). Nous avons donc préféré la méthode ci-dessus, moins expéditive, mais bien meilleure au point de vue déjà signalé à la fin du n° 284; en outre, elle nous laissera bien peu à ajouter, quand nous traiterons la même question pour les fonctions ellip-
uques (351 et suiv., énf.).
TLog QU ) — Sn, OLIS
Intégration des fonctions unipériodiques polarisées.
295. Ce problème se confond avec celui de l'intégration d’une fonction composée rationnelle quelconque d’exponentüelles et de fonctions circulaires méromorphes, toutes à même période; il est maintenant susceptible d’une solution très simple et très générale, dont on remarquera la grande analogie avec l’intégration des fonctions rationnelles par décomposition en fractions simples.
Soit f(x) une fonction unipériodique quelconque, de période IF,
et polarisée. Nous avons vu au n° 269, IT, que f(x) est décompo- 2TÉ sable en une fonction linéaire d’exponentielles de la forme e sut (les multiplicateurs Æ étant des entiers de valeurs et de signes quelconques) et en une fonction de même période II, dont les valeurs polaires sont finies. Cette dernière, à son tour, est réductible à une fonction linéaire de fonctions &;(x — 2j) (280). On a
donc en résumé 27,
f(æ) = Bo + 2 Bye nu + SA; ;E;(x—a;),
où, dans la première somme Y, À ne prend pas la valeur o. On a maintenant, en faisant abstraction des constantes arbi-
traires,
2T i 2Ti kK— x II K— x mboadr=B,x, 2 Lvyar= :C XXE
pus, sicest > 1 (275, Î),
Lee 04 £ = Séi(æ — aj) dx — Re
Er1(æ —%;), puis enfin, si &— 1 (286, [),
Six — 4j) dx = lo(x —a;).
1l vient donc
Tr
M. HDi
| +Ÿ — = fe 1(T — a;j) + DA:,;jlo(x — a).
