CHAPITRE VII. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES

C’est la formule que nous voulions obtenir, et dans l’avant-dernière partie de laquelle, l’indice # ne peut prendre la valeur 1. On peut naturellement y remplacer les exponentielles par des

: . . T T sinus et des cosinus, les fonctions £;, (x —«;) par AGE 4j)

et par ses dérivées (283), et les fonctions o(x — 4j) par HMEAT mL (æ—a;) (293),

ce qui donne à l’intégrale une apparence circulaire s’il ÿ a quelque raison pour la préférer.

Il faut évidemment et il suffit

° Pour que l'intégrale soit méromorphe, que la cinquième partie de l’expression (1) n’existe pas, c’est-à-dire que tous les résidus de f(x) soient nuls;

2° Pour qu’elle soit indéfiniment olotrope, que la quatrième partie n'existe pas non plus, c’est-à-dire que f(x) n'ait aucun infini;

3° Pour qu’elle soit périodique, que la cinquième partie n'existe pas, et en outre que B, = 0.

995 bis. Les considérations si simples du numéro précédent fournissent, pour des différentielles courantes formant une classe fort étendue, une méthode d'intégration systématique qui, à aucun point de vue, ne nous paraît inférieure aux artifices en faveur. Nous y reviendrons dans Île Chapitre I de notre troisième Pare; mails, en attendant, peu de mots nous suffiront pour en faire apprécier le mécanisme.

[. La combinaison des formules (20), (21) du n° 282, (11) du 278,

donne immédiatement

À a = fh(r, r)dr = —t(x, r)+G=—cotx + CG.

sin? æ

II. Celle des formules (20) du n° 282, (5) du n° 286, (19) du n° 290, conduit à

fcotx dx = f ti(x, r) dx = lo(x, r)+C = lsinx + C.

IT. On trouve de la même manière (282, IV), (293),

dæe DRE, 27) dx — [ Ei(x —"n, 2T) dx

sin æ — lo(x, 2r)—lo(x—7r,2r)+cC

— 1 (2 sin É r)—1| sin æ—x))] + C

: + C2 liang? + C°.

Etc.

Ces formules sont connues de temps pour ainsi dire immémorial, et les procédés qui les ont procurées sont des plus élémentaires; mais ils sont absolument empiriques aussi, et aucun d'eux

ne peut en expliquer les natures variées.