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l'intégrale étant prise sur cet arc.

III. Les valeurs de l’intégrale (13), prises sur les boucles (14), allongées du chemin (15), sont respectivement

Au, — 1, B,, — I, Cuiy — I, D,,— [.

Car le parcours de la boucle (a), par exemple, donne d’abord une partie de l’intégrale qui est égale à À, (IT), etramène en He, le radical u) à la valeur finale —R,. (166, IT), (113). Cette

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quantité étant bien la valeur initiale qu’il faut attribuer au radical pour achever l'intégration sur le chemin (15), on trouvera —[ pour dernière partie de l’intégrale, puisque nous avons appelé I ce que donne le même chemin quand le radical part de R,..

IV. L'intégrale (13) prise consécutivement sur deux des boucles (14), (a) puis (b) par exemple, suivies du chemin (15), a pour valeur À, — B,, + I:

Nous venons de constater que le parcours de la boucle (b) suivie du chemin (15) donne B,,— 1; en plaçant la boucle (a) avant le nouveau chemin ainsi composé, on trouvera donc, comme

ci-dessus (LIT), Au, Le (Bx, Er I) = (Au — B,,) + I,

excès sur ce qu'il fournirait seul, de ce que donne la boucle qui le précède.

Si les deux boucles considérées se réduisaient à la même parcourue deux fois, (&æ) par exemple, on trouverait évidemment pour l'intégrale À, —(A,,— 1) = I.

On remarquera que la succession de deux boucles (a), (b), constitue un chemin fermé équivalent à tout autre enveloppant dans un sens déterminé convenable les deux points a, b, à l’exclusion des autres €, d, et sur lequel le calcul de l'intégrale (19) donne pour résultat À, — B,.. Ici le résultat ne dépend pas de la position de &,; Car, en passant de us à w, À, comme B,, diminuent simultanément de la quantité (19), ce qui ne change pas leur