L’équation

30 = 0 no E(x) a une infinité de racines qui, toutes aussi, sont fournies par

deux formules analogues à (9), (10).

En raisonnant comme ci-dessus (302, [), on trouvera que les racines de cette équation s’obtiennent en ajoutant æ, aux valeurs

que peut prendre l’intégrale (13) sur tous les chemins imaginables acés de w4 à l'infini. Comme cette intégrale est de première espèce, elle a certainement une valeur finie sur quelque chemin particulier de cette nature [ wo] (296, 1°), et ses autres valeurs s’obliendront toujours en plaçant avant ce chemin telle ou telle soudure de boucles (14). Effectivement lintégrale (13) prise jusqu’à U', valeur de & s’éloignant indéfiniment sur un chemin quelconque, a la même valeur que sur quelque pareille soudure suivie d’une partie du chemin [ wçæ] dont l'extrémité U' s’y éloigne indéfiniment, suivie enfin d’une ligne [U’U'] dont tous les points sont comme U’, U”, infiniment éloignés de l'origine. Or la poruon de l’intégrale afférente à cette ligne est infiniment petite; car la substitution w — #7, d’où du — — t?dt, la change en

— fLo( NT de, et le nouveau chemin d'intégration finit par êlre tracé dans une aire où la fonction à intégrer est olotrope, entre des points tous deux infiniment voisins de la valeur { — 0.

Il en résulte, pour ces valeurs de l'intégrale, des expressions de la forme (26), et par suite, pour la représentation des racines de l'équation (30), des formules du genre de (9), (10).

304. Des théorèmes précédents résultent immédiatement plusieurs propriétés capitales des intégrales de l'équation (ae

l. Chaque intégrale E(x) satisfait quels que soient les entiers m, n aux deux identités

(31) E(x+mll+nQ)=E(x), (32) E(S — x) = E(x).

Ces relations ne sont effectivement que les formules (9), (10) écrites autrement.

La première montre que E(x) est une fonction périodique (204), mais maintenant de deux mantères, parce qu’elle admet indistnctement pour période l’une ou l’autre des quantités Il, Q sacisfaisant à la condition (28). Nous reviendrons longuement sur cette périodicité double qui est devenue la base de la théorie des fonctions elliptiques. Comme au n° 251, nous dirons congrues ou incongrues selon les périodes I, Q, deux quantités dont la différence est ou n’est pas de la forme mII + nQ.