CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

La similitude de la seconde avec les dernières relations (12), (15) du n°232 pour cosæ et sinæ nous autorise, relativement à la nouvelle fonction E(x), à nommer supplément d’une valeur donnée de æ la quantité S — x qui figure dans cette identité, et aussi à donner le nom de supplémentaire à la constante S servant ainsi à former les suppléments.

A cause de l’identité (31), cette seconde subsiste encore si l’on remplace S par une quantité congrue quelconque. La fonction E(x) possède donc une infinité de constantes supplémen-

taires; mais loutes sont évidemment congrues deux à deux.

II. Si E(x) désigne une intégrale particulière de l’équation (2), choisie à volonté, et T' une constante arbitraire,chacune des expressions (33) E(T+x), E(T—x) renferme toutes les autres intégrales.

En appelant E, (x) quelque autre intégrale, les racines x et x,

des équations finies E,(æ)=\u4, Efre'u

satisfont aux équations différentielles dx [ AL T

du Votu) du Yetu)

ce que nous avons vu au n° 302, 1. Selon donc que pour une même valeur de w les radicaux devront avoir des valeurs égales ou opposées, on aura

CPAS qe du du c’est-à-dire d(ti TX) == O, du d’où, en intégrant, Ti TT

puis soit E(T + x),

E.(x = u = E(r)= NE soit E(T — æ).

Ainsi E,(æx) est contenue dans l’une ou dans l’autre des expressions (33) et même dans l’une aussi bien que dans l’autre, parce

qu’elles renferment toutes deux les mêmes fonctions de x exactement, à cause de l'identité (32) qui donne à volonté

E(T—x)=E(S—-T+x)=E(T;+2), E(T+zx)=E(S —T—zx)=E(Ti—zx).

Inversement, il est évident que toute fonction renfermée dans les expressions (33) est, comme E(x), indéfiniment méromorphe, et qu’elle satisfait à l'équation (2).

Deux intégrales correspondant à deux valeurs F’, T”, attribuées à l' dans l’une de ces expressions, sont différentes ou identiques selon que la différence ["—T'n'’est pas ou est de la forme mII+nQ.

IT. Les intégrales de l'équation (2) admettent toutes les mémes périodes, mais non la même constante supplémentaire.

Soient E(x)etE, (æ)= E(T + x) (IT) deux de ces intégrales, IT et Q les périodes de la première et S, S, les constantes supplémentaires de l’une et de l’autre. On a évidemment

E(x+ m+nQ)=E(T+x+mI+nQ)=E(T+x)=E,(x),

en vertu de quoi les périodes IT, Q appartiennent aussi à E,(x).

Mais on a aussi

E;(S1— x) = Ei(x)=E(T +7) = E(S- 07 = ET+S—9oT—x)=E(S —27— x), d’où S=S—20EMmI Er

Pour que S,—S, à des multiples entiers de périodes près, il faut que 21 soit une somme exacte de pareils multiples et par suite que F soit congrue à l’une des quantités

Les conclusions du présent alinéa s'accordent avec les remarques da n°302, IT, IV, sur la manière dont varient les intégrales (18) et leurs différences deux à deux, quand leur limite inférieure commune &, change de valeur, et nous aurions pu les en déduire.