CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL
L'égalité (4) montre que l’aire de la maille composée est le produit de celle de la maille primitive par le déterminant (5) des multiplicateurs, qui est entier comme eux.
On pourrait prouver que, la maille composée est sécable en fragments polygonaux (en nombre limité) dont un autre assemblage reproduit une aire résultant de la juxtaposition de + V mailles primitives.
311. Entre deux réseaux dont l’un est ainsi composé de l’autre, il existe une relation de la plus haute importance; mais nous ne pouvons l’établir avant d’avoir démontré un théorème d'Arithmétique, se rattachant à une généralisation fort étendue de la division élémentaire des nombres entiers.
La théorie d’un système de formes linéaires exige la considérauon continuelle de l’ensemble de leurs coefficients, abstraction faite des variables. En écrivant sur une même ligne ceux d’une même forme, et sur une même colonne ceux d’une même variable dans toutes, on obtient un tableau décomposable en /iles tant horizontales que verticales, pour lequel j'ai proposé le nom d'abaque du système de formes (1). La largeur d’un abaque est le nombre de ses colonnes, c’est-à-dire des variables dont les formes sont fonctions; sa kuuteur est le nombre de ses lignes ou bien celui des formes composant le système.
Soient maintenant un abaque carré de hauteur 2
1; bi
( da; be”
ayant pour éléments des nombres entiers (positifs ou négatifs), de déterminant D 0; soient encore
) 5 7 ka et
(7 bis) LR
une colonne et une ligne contenant chacune deux éléments entiers.
(*) Exposition nouvelle de la théorie des formes linéarres et des déterminants. Paris, Gauthier-Villars et fils; 1884.
Pour exprimer que les deux relations
(8) | =. @p +01, ; | Ki = de RE b2q existent entre tous ces nombres, nous dirons que la colonne (7) est divisible par l’abaque (6) et que la ligne (7 bis) est le quotrent de cette sorte de division.
Quand on a + D — 7, cette division est toujours possible, parce que les équations linéaires (8) sont, quels que soient leurs premiers membres, toujours résolubles par rapport à p, q en nombres
entiers.
Appelant encore différence des deux colonnes entières (XX TRS k° de lu Va
la colonne
nous dirons que ces colonnes sont congrues ou incongrues sutvant l’abaque (6)pris pour diviseur, selon que leur différence est ou n’est pas divisible par cet abaque.
Cela posé, voici l'énoncé du théorème en question :
Suivant le diviseur (6) de déterminant D, on peut asstgner + D colonnes entières incongrues deux à deux, mais à l’une ou à l’autre desquelles toute colonne imaginable est congrue; plus brièvement, il y a HD restes incongrus et pas davantage.
I. Pour a =1, 4 —0, les + bh3=+D colonnes (e) (0 [e) 1: lo en + D:
sont évidemment celles dont il faut prouver l'existence.
(ro)
IL. Si a—1, 45/0, le système des équations (8) équivaut visiblement à celui-ci
ki == p +b19; | — azki+k2=0.p +Dg,
CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL. 341 qui rentre dans le cas ci-dessus (1), l’abaque
1: bi (o, D des coefficients de p, q étant toujours de déterminant D. Cela posé, et suivant ce dernier abaque, les colonnes (RARES l'KET APRES sont congrues ou incongrues en même temps que les colonnes (9) suivant (6), pourvu que leurs éléments aux unes et aux autres soient liés par les relations FALL RON ORAN AS CRE RE KR UNE E Re.
Il en résulte évidemment ([) que, suivant l’abaque (6), les + D colonnes (10) sont toujours incongrues entre elles, mais que
toute autre colonne imaginable est congrue à l’une d’elles convenablement choisie.
IL. Si &,, b, sont quelconques, mais premiersentre eux, nous appellerons &,, «> une paire de solutions entières et nécessairement premières entre elles, de l’équation toujours possible
(17) dia + bite =, puis P,, fa une paire semblable pour l'équation possible aussi
% Ba Ga fa
À cause de cette relation, et quels que soient p, g, on peut
d1B2— of 1.
toujours poser JO a P Du Bu Q,
q = aP#+6:0;
car ces formules simultanées sont forcément résolubles en nombres entiers par rapport à P, Q. Cette double substitution effectuée dans les relations (8) les change en
Fi = APP AbI0O, k = AP + B:Q,
où l’on a posé, pour abréger,
Ai di + bite = Au, Qi Bi + Die = B:, A2 Xi + UELE = A, (22) B1 + Da B2 == B>,
et il est évident : 1° que les divisions de la colonne (7) par les abaques (6) et
