M, = + VM

Une racine donnée de l’équation (1) et toutes celles qui lui sont congrues suivant le couple (II, Q) ont des degrés de multiplicité égaux (292); elles coïncident avec les nœuds d’un certain réseau construit sur ces périodes; en outre, + V de ces nœuds tombent précisément à l’intérieur d’une maille donnée de tout réseau construit sur IT,, Q, (312).

Cette observation répétée pour toutes les racines de l’équauon (1), que contient une même maille du réseau simple, met en évidence l'exactitude de notre théorème.

En particulier, les ordres de f(x) relatifs à tous ses couples de périodes élémentaires (314) ont une même valeur (317), qui est minimum, et quil y a tout spécialement à considérer; on la nomme l’ordre proprement dit ou absolu de cette fonction.

3293. Les fonctions E(x), E, (x) étudiées aux n°5 302 et suivants, sont du second ordre.

Car leurs périodes IT, Q sont élémentaires (314), et, d’après les n°® 304, V et 305, I, chaque maille du réseau construit sur elles contient deux infinis simples pour les premières, un infini double pour les dernières.

Elles sont les fonctions bipériodiques les plus simples, parce qu'il n’en existe aucune qui soit du premier ordre (326, 1142)

324. Non seulement (320), la somme des degrés de multiplicité des racines variables (5) de l’équation (1) conserve, quelle que soit u, une valeur constante, mais encore la somme

PT) [(u)= MiL1+ Mis +... + Mylg M. — II. 23

des produits de leurs valeurs par celles de leurs degrés de multiplicité m, ..., mg (variables ausst quelquefois), est une fonction de u qui se réduit identiquement à une constante.