I. La fonction I(u) est indéfiniment olotrope

La théorie générale des fonctions implicites (307*) rend ce point évident pour chacune des racines (5) considérées individuellement, par suite pour leur fonction composée linéaire [(w); ceci du moins est vrai aussi longtemps qu'aucune de ces racines n’annule f(x), c'est-à-dire que w n’atteint une des valeurs cardinales de f(x), nous voulons dire, comme aux n° 304, IV et 305, IT, une de celles données à cette fonction par les racines de l'équation numérique

J'(æ)=0, valeurs qui, à cause de l’identité des périodes de f(x), f'(æ) (319),

sont en nombre au plus égal à l’ordre de f'(æ), partant limité.

Supposons maintenant que w atteigne une semblable valeur ul), pour laquelle la valeur correspondante x{° de l’une des fonctions implicites (b) soit racine multiple de l'équation f(x) — u= 0. Pour des modules suffisamment petits de la différence w — wo, celles des quantités (5) dont les excès sur x sont infiniment petits avec elle se partagent en systèmes circulaires dans chacun desquels elles ont les formes

(8) m4, dd +m ai + Yi

A , à ® Li , « Loutes avec un même degré de multiplicité pa, où Vi, RO représentent les y séries rhizomorphes dans lesquelles se change

quelque même composante Y (4), olotrope et nulle en {= 0, par la

substitution à & des y déterminations du radical (w — u(0)) (144). La somme des racines (8) multipliées par leur degré de multi-

plicité commun {4 est donc (9) pv + pda ba. y)

c’est-à-dire une fonction de w qui est olotrope en wo. Effectivement,

dans l'expression entre parenthèses, le coefficient du terme en œ (u — ul0) j? contient évidemment comme facteur la somme des

CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL. 32 puissances w°"% des y racines y" de l'unité, o par suite Loutes L] TD L] les fois que : n’est pas un entier (115).

Msn (7) est donc olotrope, même pour ces valeurs critiques w(°) de uw, puisqu'elle se partage toujours ainsi en une somme d’autres analogues à à (9 ) qui le sont toutes.

II. On peut, quelle que soit u, assigner une méme limite supérieure à modI(u).

Pour mod £R, quantité positive donnée quelconque, la chose est évidente puisque I(w), olotrope dans tout le plan (I), l’est en particulier dans un cercle de rayon R ayant l’origine pour centre (180*).

Pour modu?R, on a modp< e. si l’on prend e — s

Comme -— est aussi méromorphe et bipériodique, on peut de

I A L3 Li ’ L] même assigner, pour mode < g’ une même limite supérieure au module de J(v), somme analogue à 1(4) pour l'équation (6). Mais si l’on prend w — — on a modu?R, et I(u)—J(+e)

évidemment, pourvu, bien entendu, qu’en résolvant l’équation (6) on ait pris les quantités (4) pour valeurs initiales de x correspon-

dant à ve — = Vo —= TRE parce que cette équation peut s ’écrire aussi bien f(x) — - —0 CEE Si donc on nomme L/, L” des limites supérieures, l’une de modi(w) pour modu<R, l’autre de modJ(v) pour mode << R°?

et L une quantité supérieure à ces deux-c1, on aura modI(u)< L,

aussi bien pour moduZ?R que pour modu£R.

III. Puisque I(u) est indéfiniment olotrope et ne peut être rendue infinie par aucune valeur de & soit finie, soit infinie, elle se réduit forcément à une constante (8).

325. Des racines quelconques de l'équation (1), choisies de manière à être incongrues deux à deux, mais congrues dans leur ensemble à toutes les autres, ne diffèrent jamais des racines (5), que par des multiples des périodes; en les leur substituant dans

l'expression [(w), on ne fait qu'augmenter celle-ci d’une somme de semblables multiples, ce qui la laisse encore indépendante de w. Une somme de pareilles racines multipliées par leurs degrés de multiplicité, quelles qu’elles soient et quelle que soit u, conserve donc toujours une valeur constante, à des multiples des périodes près.

La considération de l'équation (6) montre que cette valeur se conserve aussi pour les infinis de f(x). En particuher : dans une méme maille, la somme des séros de f(x) multipliés par leurs degrés de multiplicité est toujours congrue à la même somme pour ses infints. | |

Ces diverses proposilions comprennent, comme cas particuliers, les propriétés de la constante supplémentaire S des fonctions du

second ordre E(x), E. (æ) (304), (305).

396. Il n'existe aucune fonction méromorphe, bipériodique, et ne dégénérant pas en une constante, qui soit du premier ordre seulement.

Car pour une pareille fonction le groupe (5) des racines de l'équation (1) ne contiendrait qu'un terme, et celui-ci serait essentiellement variable. L'expression [(w) ne pourrait donc pas conserver une valeur constante (324).

397. Pour établir qu'une fonction donnée d'une seule variable se réduit à une constante, il suffit donc de prouver qu'elle est indéfiniment méromorplhe, bipériodique, et que son >rdre est o (320) ou 1 (326), de prouver, par exemple, que dans quelque maille d’un réseau, elle ne peut pas avoir plus d’un zéro (simple) ou d’un infini (simple).

398. Dans chaque maille de tout réseau, le résidu intégral d'une fonction bipériodique méromorphe se réduit à o (56).

Ce résidu multiplié par 27xé reproduit effectivement l’intégrale f f(x) dx prise en parcourant une fois dans le sens de rotation direct le périmètre du parallélogramme qui constitue la maille considérée (189). Comme f(æ) est identique à elle-même aux points congrus de deux côtés opposés de ce parallélogramme, et