CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

fonction rationnelle et symétrique des fonctions composées deu (12) | (Se), É(&?), Gr $[x]

est méromorphe (ou olotrope) en u = ui.

Comme, d’une part (144), (320, IT), les développements des fonctions implicites (11) s’obtiennent en substituant à la variable d’une certaine série entière les y déterminations du radical

(u — u;)”, comme, d’autre part et par hypothèse, f(x) est développable en une série procédant suivant les puissances de æ — x; à exposants entiers croissants, les premiers éventuellement négatifs, les développements des fonctions composées (12) sont par rapport à w — u; de même forme que ceux des fonctions (3) par rapport à £, et le point en question résulte immédiatement de l'alinéa IT.

2° Si deux seulement des fonctions (12) sont égales identiquement, toutes le sont aussi et se réduisent à une méme fonction de u méromorphe (ou olotrope) en ui.

Car le parcours effectué par w d’un anneau qui enveloppe le

l Il HI

point w; changeant x' en *, Len er Pllen) x, lidentité,

supposée NA f(x) (5, par exemple, entraîne évidemment

NEA TE 0 RE EU) RP d’où RÉ) = = [F (x!) + F(x")+. + F(x%)],

fonction de w qui est méromorphe (ou olotrope) en w;, parce qu’elle est rationnellement et symétriquement composée des fonctions (12) (1°).

3° Si l’on a g groupes de variables indépendantes, contenant respectivement Vi, Vas ce Ve de celles-ci, toute fonction rationnelle et symétrique des Y+Va+...+ Ve variables considérées est exprimable rationnellement au moyen de certaines fonctions symétriques rationnelles des y, variables seulement du premier groupe, de fonctions de la même nature relativement aux v: variables du second groupe, etc. Ge point est trop facile pour que nous nous arrêlions à sa démonstration.

4° Comme chacune des fonctions de w ë) (13) Ho), F(x) ER

se retrouve forcément dans la suite (10), parce que cette dernière contient toutes les fonctions distinctes de w que la substitution dans F(x) des diverses racines de l’équation (2) puisse engendrer, cela à cause de l’identité des couples de périodes considérées, on

aura par exemple F(x') & OR ie

S1 donc deux des fonctions (13) sont égales identiquement, F(x!) est fonction méromorphe (ou olotrope) de wen u = u;(2°);sinon toutes sont inégales et y des fonctions (10) auront, méromorphes (ou olotropes) en w;, toutes leurs fonctions symétriques rationnelles (1°).

Il en résulte immédiatement que les fonctions (10) se partagent toujours en certains groupes dans chacun desquels, considéré isolément, leurs fonctions rationnelles et symétriques sont méromorphes (ou olotropes) en w = u;, par suite (3°), que la fonction P(uw) jouit de la même propriété.

o° La fonction P(u) est méromorphe (ou olotrope) à l’infini (51). Car, la fonction jouissant par rapport à F(x) de toutes les propriétés sur lesquelles ont été fondés les raisonnements ci-dessus, la considération de l’équation

FC

équivalente à

montrera de même que Ps) est méromorphe (ou olotrope) en DD.

6° Le nombre des valeurs distinctes de u qui peuvent rendre P(u) infinie est essentiellement limité. Car la fonction symétrique actuellement en vue étant entière, il faut alors que la valeur de quelqu’une des fonctions implicites (3) soit congrue à un infini de F(x), c’est-à-dire que w ait l’une ou l’autre des valeurs (non infinies) de f(x) correspondant à tous les infinis

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