PO

o(s)= a p9 +... + 1871 + Go + 15 +...

est le développement d’une fonction de $, méromorphe en bi==,0,.€t SL S1; S9: ..., Sy

| 1 représentent les y déterminations du radical t”,; toute fonction symétrique rationnelle des y fonctions composées

(8) p(si), pCsah +, p(s)

est une fonction de t, qui est méromorphe (ou olotrope) en

Quand la fonction symétrique considérée se réduit à la somme des valeurs dissemblables que les 1.2... permutations des fonctions (8) donnent à un même monome les contenant sous des exposants entiers, un raisonnement calqué sur celui du n° 142, II montre que, dans son développement, le coefficient de toul terme où { est affecté d’un exposant non entier se réduit à zéro.

Notre lemme est encore vrai quand cette fonction symétrique esl entière, mais de nature quelconque, parce qu’elle est toujours réductible à une expression linéaire par rapport à des sommes de cette espèce.

Il est donc général; car une fonction symétrique rationnelle peut toujours être mise sous forme d’un quotient de deux fonc- Lions symétriques entières, et le quotient de deux fonctions méromorphes est aussi méromorphe.

IL, £'n représentant par (9) m', 2 aa)

m, des fonctions implicites (3), choisies respectivement, mais à volonté, dans les m, groupes définis au commencement de l’alinéa I, toute fonction rationnelle et symétrique des m, fonctions composées correspondantes

(10) F(z'), :F(2 00e are)

se réduit à une fonction de u, P(u), qui est simplement rationnelle.

D’après une remarque faite à la fin de l’alinéa précédent, 1l nous suffira de raisonner dans le cas seulement où il s’agit d’une fonction symétrique entière.

19 Sr, pour les valeurs de u suffisamment voisines de u;, v racines de l’équation (2) s’y réduisant à x:;,

(11) 7 LME RU

forment un système circulaire (167), et si S(x) désigne une composante quelconque méromorphe (ou olotrope) en x;, toute