IV. En appelant ainsi — P,(u), Pau), — P;(u), HÉ (—i1)4P mu

les sommes des produits des fonctions (10) prises 1 à 1, 2 à 2, Da, 0... mn à m1, toute valeur U prise par F(zx) pour une valeur de x rendant f(x) #gale à u est racine de léquauion entière de degré m1,

Uru+ Pi(u)Urm-t+...+ Pr, i(u)U + Pr(u) =,

dont tous les coefficients sont des fonctions rationnelles de w, et que l'expulsion des dénominateurs transforme en une autre

(14) PU, u)=0, celle-ci ayant pour premier membre un polÿnome entier en U, w,

de degré effectif m, par rapport à U, et n’admettant pour diviseur aucun polynome entier en w seulement, de degré effectif => 0.

V. L'équation (14) est irréductible, et de degré M, par rapport à u.

1° Sio(U, u), y(U, w) sont deux polynomes entiers sans diviseur commun, on ne peut avoir à la fois les deux identités \{ pPIF(æ), f{æ)1= 0, | LIF(æ) = 0;

car alors les équations simultanées entières en U, w,

\ o(U, u)=0, | YU u)=0,

auraient pour seules racines un nombre limité de couples de constantes, à l’un ou à l’autre desquels se réduiraient F(x), f(x), quelle que fût +. Or, c'est impossible, puisque nous supposons essentiellement qu'aucune de ces fonctions ne dégénère en

une constante.

2° Si appelant g:, go, ..., qe des exposants entiers positfs, en nombre g >1,eto,(U, u), ..., ©, (U, u) des polynomes entiers en U, w, deux à deux sans diviseur commun, et de degrés tous > 0, on avait, quelles que fussent UÜ, w,

PU, u)=[y1i(U, u)]2..-[oe(U, w)]%;, la double substitution U= Fr): UN} Cr

qui annule identiquement D(UÙ, uw) à cause de l’équation (14), annulerait identiquement aussi l’un de ces polynomes au moins, puisqu'ils sont en nombre limité, mais aucun autre avec lui (1°), et toutes les fonctions de w, racines de l'équation (14), satisferaient par exemple à l'équation

Du (UN LEO;

Or c’est impossible parce que ces racines sont toutes non identiquement égales et en nombre m,, tandis que le degré en U de cette dernière équation est m,, à cause de la présence effective certaine de U dans chacun des autres polynomes w,, ....

3° Comme il résulte d’un raisonnement tout semblable, que U, u satisfont à une équation entière irréductible contenant w au degré M,, comme d’autre part (1°) le premier membre de cette équation et P(U, x) se divisent l’un l’autre, à un facteur constant près, ces polynomes sont identiques, et (UÙ, w) est bien de degré M, par rapport à w.

332. Pour construire effectivement l’équation (14), on emploie des procédés variant avec les circonstances et comportant plus ou moins l’emploi de la méthode des coefficients indéterminés.

Les deux corollaires suivants sont quelquefois utiles.

I. La proportion = y (= d) m M: é existant entre les ordres des fonctions f(x), F(x) du n° 331 et les degrés de l’équation irréductible (14), fournit un de ces quatre nombres, dès que les trois autres sont connus.

En particulier, st F(x) s'exprime en f(x) par une fraction