CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

rationnelle trréductible contenant f(x) au degré effectif M, on a M = M, mm. Car ici mi = 1.

IT. L'équation (14) étant irréductible, son premier membre divise forcément celui de toute équation entière pouvant exister entre les mêmes fonctions U, # (331, V, 1°). Si donc on a obtenu, par un moyen quelconque, une relation de celte nature, ses coefficients satisferont forcément aux équations de condition exprimant la possibilité de cette division.

En particulier, ces coefficients seront tous nuls, si l’un des degrés de cette relation est inférieur au degré correspondant de l’équation (14).

333. En appelant m l’ordre absolu (322) d’une fonction méromorphe bipériodique, et y le nombre de ses infinis numértquement distincts que contient une même maille élémentaire, cette fonction u = f(x) satisfait à une équation différentielle du premier ordre et de la forme

du\m du\m-—1 d

où P,, ..., Pm 1, Pm sont des polynomes entiers en u, le dernier Ph de degré effectif m=m+'"Y, l’avant-dernier Ph: identiquement nul, et tous les autres de degrés effectifs < m'. En outre, cette équation est irréductible, c'est-à-dire qu’en y VA U [ x du .

écrivant u! à la place de > son premier membre est un polynome premier en u',U.

D’après quoi, la fonction u provient toujours de l’inversion de quelque intégrale abélienne (169).