CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES
En négligeant donc le double de la quantité (47) et le fac-
T 2 , EAN ; ; teur (=) » l'expression considérée tend, pour N invariable, /
M infini, vers le double de
I l I ue
5 rer mor onto Cou mu roL sin? [tv sin? 24 sin? Nc
Or cette dernière somme est celle des N premiers termes d’une série convergente; car + n'étant pas nul, puisque le moment de II, Q ne l’est pas, on écrira, si {est positif,
(48) nn. ae st DURE UN ÿ sin N ré 14 e'Nt = eiNt eiNv'( et" )2N Las eiNt Ê d’où : à l 4 9y"\N Mod < ———© (eu,
sin?N+ . (i—e)}
à partir du moment où le module de l’exponentielle (et }\, infiniment petit à cause de —’Æ<o, se maintient au-dessous de la quantité positive invariable e 1, et le second membre de cette inégalité est le terme général d’une progression géométrique de TaiaObes <<].
Quand + est négatif, on arrive à la même conclusion en multiplant par eŸ les deux termes de la fraction formant le membre médian des égalités (48).
II. Les limites mentionnées ci-dessus (1) sont égales à celles que fournit le rectangle [M, N] s'agrandissant sous la condi-
tion (45).
1° C’est encore évident pour l'expression (8) qui se réduit sans cesse à zéro.
2° Appelons maintenant Syx l'expression (6) composée des termes dont les jalons remplissent le rectangle [M, N], et Sex sa limite pour M infini, N conservant une valeur invariable.
Il est évident que la différence S,, x — Sy, est le double de la limite vers laquelle tend, pour M’ infini, la somme Sy, -x,x des quan-
. I Ë 5 i1és ——— 7 dont les jalons remplissent le rectangle avant ses k Sn no d ; J P ë Ÿ
côlés empruntés aux droites m—=M+1 ou — Met ri ciN
Or la formule (13) légèrement modifiée permet d'évaluer Syw, nn puis sa limite S,,, x, pour M' infini; à part des quantités quisont toujours infiniment petites quand M, N sont infinis, l'expression de cette dernière ne contient plus qu’un logarithme que la condition (45) fait tendre vers zéro. On a donc bien, sous cette condition,
lim Sun = lim Sc.
IT. Pour obtenir E, (x), il suffit donc, en vertu du théorème du n° 340, de donner à la somme variable (5) la composition spécifiée dans l'alinéa (1).
Quand on fait croître M indéfiniment, la somme des quan-
ectangle[M, N},
Lités
æ—mi—nQ et où 7 a la même valeur, tend vers
Ex — nQ, [)=— LE a [5 (æ — nQ), “| = root (æ — nQ) (283),
et la formule (46) se trouve établie.
361. En vertu des théorèmes des n° 340, 277, on pourra différentier la formule (46) ou l’intégrer sur un chemin quelconque, en exécutant séparément les mêmes opérations sur les divers termes composant la somme variable du second membre.
Cette observation, combinée avec la relation (16), conduit pour la fonction Æ,(x) de méme provenance, c’est-à-dire limite de l'expression (5) composée comme nous l'avons expliqué c1-
dessus (360, I), à la formule
HE, (ie =(2) im Ÿ » (pour N infini).
N sin? (æ—nQ)
Ici on peut remplacer le second membre par la somme véritable
de la série doublement infinie ayant CA) EE
sin? (æ—nQ) terme général, parce que celle-ci est convergente, même quand on réduit ses termes à leurs modules, comme le prouve le raisonnement fait ci-dessus (360, I, 2°).
