CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

uon O(x) puisse permettre de trouver facilement celles de toute fonction bipériodique offrant les mêmes périodes. On préfère naturellement pour cela une des deux fonctions O(x) qui sont unipériodiques, et dont nous parlerons dans le prochain para-

graphe (365, inf).

398. S1/O(x), O(x) désignent les deux fonctions O engendrées par l’intégration des fonctions 'E,(x), E,(x) du n° 348, on a entre elles la relation

En opérant sur l'identité (26 }comme nous l’avons fait au n° 356 sur l'identité (30), on arrive à O(&) A ACT RTEUES CPL)

et l’on a C— 1, parce que le premier membre tend vers 1 quand x tend vers o (352, 1).

Fonctions Æ,(x) et O(x) douées de périodicité simple.

359. Dans le paragraphe précédent, dont nous conservons les notations pour celui-ci en prolongeant son numérotage, nous avons vu (349) qu'on peut donner une valeur arbitrairement choisie à l’un ou à l’autre des augments de la fonction Æ,(x). St donc on réduit le premier à o,elle acquiert là (vraie) période, et si c’est le second, elle acquiert la période Q. L'autre augment, alors déterminé par l'équation (18), ne peut Jamais s'évanouir. Ce sont ces deux fonctions douées ainsi de périodicité simple, dont nous allons nous occuper; nous les représenterons par (PE, (x), WE (x), et nous ne parlerons que de la première, parce que tout ce qui la concerne s’applique à la seconde, mutatis mutandis.

En faisant An — 0, l'équation (18) donne pour le second augment de DE, (x), la valeur

Te Lyest<o.

selon que le second élément du rappor

Comme la formule (20) donne pre — 0

quand £ — 0, la fonction WE, (zx) est la limite de la somme(5) composée des termes dont les jalons sont contenus dans le rectangle [M,N] du n°341, IT, 2°, pourvu qu’il s'agrandisse indéfiniment sous la condition

AN (45) lim 10:

360. La fonction VE, (zx) se développe en série trigonométrique doublement infinie par la formule

+N (46) ME (æ)= Elim Ÿ cote (æ—nQ), (pour N in fini). —N

1. On fait acquérir des limites aux expressions (6), (8), en composant chacune de tous les termes qui remplissent le rectangle [M, N] (celui où l’on aurait m—n—=0o, bien entendu, excepté), puis en faisant croître indéfiniment, M d’abord, N ensuite.

1° C'est évident pour l’expression (8) qui, étant ainsi toujours nulle, tend nécessairement vers o.

2° Pour M infini, la somme des termes de l’expression (6), où-72 — 0, a pour limite le double de la somme de la série

f | HE eee (47) 1 Peer At A de e €

qui est convergente (273). Celle des termes où n a une même valeur -£ 0, tend, d’après le n° 283, vers

E(n0)—1n)= (2 Vs

Prose ECTS Sn 1 \— 7 sin?rnc

où l’on a posé pour abréger