Nous représenterons aussi par IDO(zx), VO(x) les fonc
La
CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES. 405 tions O(x) déduites de IE, (x), QE, (x), par intégration et passage des logarithmes aux nombres; il nous suffira naturellement de parler de la première.
Comme on a ici An— 0, Ag = + = (359), les formules (34) deviennent
(53) O(x +l1)=—MO(>x), DO + = — 7 Tr) D0 (>)
La première de ces relations donne MO(xz+21)=MO(x),
en vertu de quoi {a fonction WO(x)est unipériodique avec la période 211; et cette dernière est élémentaire.Car, d’après l’équation différentielle (32), toute période de MO(x) est le produit de la période élémentaire de DE, (x) par quelque muluplicateur entier, pour lequel la première des formules (53) s'oppose à ce que l’on prenne 1.
366. On a, pour le développement de cette fonction en série factorielle trigonométrique, la formule
T T in — \ Q sin— (x Q sins (æ + NQ) sinz (x +Q)
Ë UT MO (T)= MT —... x sin 7x7 ER O RS à T I.
in — NO in — Q ] Il Il PUTE RTC sin (æ—0Q sin—(r—NO) Il EL re :
x ee ———— |, (pour Ninjini).
ER Le Un sin— (— Q sin— (—NQ TC: 2) x ( )
On obtient effectivement cette fonction (351), (359), (360, IT), en formant le produit de tous les facteurs (31) dont les jalons remplissent le rectangle [ M, N |, en cherchant ensuite la limite de ce produit pour M infini, puis la limite de cette limite pour N infini.
D’après le n° 293, les limites, pour M infini, des produits partiels de ceux de ces facteurs où a — 0 et de ceux où nr “osont
sin (æ—nQ) DCANUIT) — 2 sin æ et OLA O.) = is :
sin (— nQ)
moyennant quoi, la limite (toujours pour Minfini) du produit total considéré est bien le produit des 2N + 1 facteurs entre crochets dans le second membre de la formule (54) qui se trouve ainsi démontrée.
367. La relation (35) donne immédiatement la formule analogue
SA sin (æ—0+Na
DO(x,0)= lim sine (—6+No
(55) % F sin (æ —0) Sin (TO NON Il IT 310 Me ————— » (pour Nin fini) PT IE AE | sin (— 0) sin, (—0—N2) 368. L’accouplement des deux facteurs où le multiplicateur de Q a des valeurs égales et de signes contraires, suivi de transformatons faciles, change la formule (54) en cette autre, ne contenant plus qu’une série factorielle simplement infinie : hg sin? + 4q" sin? æ T1) T Il Il OCR) = SIENNE 7 ESRI > II CLS (LPS 27T 5 27 .
197 COST 1 — 297 COS PAPERS RE te Il IT —= SIn — seunce ——— .
