RS OX

et # tombe dans la bande dont il était question ci-dessus (1). La formule (51) est donc applicable au développement de DE, (+) en série de sinus. En faisant ensuite t = x — £Q dans cette série, portant celle-c1 dans la relation (52), puis y remplaçant

É 27 2T sinmn—(x—kQ)= sin(m Es Il

Te m.kare)

par

. £ 2T : 27 (52 bis) cosmA27T9.sin M æ — sin mk2To.cos M ®

on obüuent dans la bande voulue le développement de (VE, (x) en eee Ë À : ï re 27

série procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de Ta:

Mais 1l faut y laisser groupées, les deux parties du terme général

mis sous la forme (52 brs).

IT. Votre théorème est applicable à toutes les autres fonctions spécifiées dans son énoncé.

Il résulte implicitement des considérations précédentes, que

(e » que,

en amincissant la bande où l’on a développé DE (x), par quelque DE ’ q

rapprochement simultané des parallèles qui la limitent (si faible qu'il soit d’ailleurs), on obtient un espace où les modules des termes de la série (51), ceux aussi des termes (non dédoublés) de la série construite dans l'alinéa (Il), restent respectivement inférieurs à des quantités positives en série convergente. Le théorème sur la différentiation des séries de fonctions (275* bis) est donc applicable à celles dont il s’agit. Il suffira donc (343, [) de différenuer séparément tous les termes des séries en question pour obtenir, à des facteurs numériques près, des développements analogues des fonctions (ME, (x), Es(x), .

Nous avons raisonné dans le cas où 9”, second élément de

P—= y st positif; s’il était négatif, le module de e?ñip serait => 1,

mais alors celui de e-?Te serait 1, et, en représentant cette dernière quantité par g, On arriverait aux mêmes formules.

363. Par un simple changement de variable on déduit des considérations précédentes que, quelle que soit la constante a, les fonctions DE, (x — a), (DE, (x — a), ..., 83 (2x alor: susceptibles de développements analogues à ceux spécifiés aux ns 360 ec 361, ainsi qu'au n° 3062 pour l’intérieur de toute bande parallèle à H, qui ne contient aucun de leurs énfinis a+ ml En9.

Dh)

364. De pareils développements sont applicables à toute fonction de x, indéfiniment méromorphe et bipériodique, ceux du n° 362 n'étant valables qu’à l’intérieur d’une bande dont les bords sont tracés parallèlement à une période en laissant tous les infinis de la fonction à son extérieur.

Ce théorème résulte immédiatement de la combinaison du précédent avec celui du n° 347 appliqué à la décomposition de la fonction bipériodique considérée en fonctions Æ ayant toutes en commun la période dont il s’agit.

Nous devons passer sous silence les détails de la construction de ces diverses formules et les transformations avantageuses qu’on

peut leur faire subir parfois.