CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

relativement facile la construction de Tables contenant les valeurs de leurs logarithmes, fournissant par suite (355) celles de toute fonction méromorphe ayant II et Q pour périodes (C/. 292, TT).

369. La fonction O(x) peut être développée en une série trigonométrique très remarquable ; mais avant de la construire, 1l nous faut entrer dans quelques considérations générales qui, d’ailleurs, sont utiles dans plus d’une autre circonstance.

Étant donnée la suite des valeurs d’une variante à un indice,

I) INIST RETLEe #

le produit P, des n premières est une nouvelle variante de même indice », qui peut ou non tendre vers quelque limite P, pour n infini. On dit dans le premier cas que la série factorielle

(56) Ua Us Unie

oh:

ayant w, pour facteur général, est convergente, et l’on nomme la limite P son produit, que l'on représente aussi par la notation (26).

On dit dans le second cas qu’elle est divergente, et aussi qu’elle a un produit infini, si P, est une quantité infinie.

Quand l’un des facteurs est nul, P, finit par l’être sans cesse, et la série a un produit —0o. Ce cas excepté, on peut formuler cetLe observation générale :

Pour que la série (56) soit convergente et ait un produit différent de o; il est nécessaire et suffisant que Psp; produit des p facteurs qui suivent le nième, jende vers 1 pour n infinu, quelque relation qui puisse être établie entre n et p.

On a effecuvement Phr+p ee Ph = PrCPrp— 1);

d'où lim(P,p—1)=0, si l’on suppose que P; tend vers une HO -< 0. |

Réciproquement, si lim P;,,— 1, on peut assigner un entier y assez grand pour que, quel que soit p, P,,» soit de la forme 1 +e, e ayant un module inférieur à une quantité positive € <C 1. Alors

pour toute valeur de n supérieure à y, P, = P, Pen module inférieur à (1 + &)modP,, et, dès lors, n’est pas infinie. Donc EAN REP Hs Ce IRÈNE LAS 1) tend vers zéro, et P, est une variante douée de limite (D4*). |

Pourles mêmes valeurs de n,ona enfin modP, > (1 — €) modP, ; donc limP, n’est pas nulle.

310. De là il résulte notamment que si la série (56) est convergente sans avoir un produit nul, son facteur général tend vers 1, que par suite il est de la forme

Un —= 1+ An,

où 4} est une quantité infiniment petite. On à maintenant la règle particulière de convergence que voici :

Si (57) | js Ao, cc.) y) ..,

modules de di; a, ..) An; HEC,

forment une série (ordinaire) convergente, la série factorielle (58) (+ a)(1+ @)...(14 an).

est convergente aussi (avec un produit 0, quand aucun facleur ne s'évanouit).

I. On obtient une série convergente en écrivant, dans un ordre quelconque, les quantités

(29) A1, UT ARNO EL: CU) Mis, ous, 5 CO

produits des modules (57) associés o à 0, 1 à 1; DIGS 3 à 3, ..., indéfiniment et de toutes les manières ossibles

mais sans répétition.

En posant (60) Li + Lo + Ag He. = Z1,

et formant les carré, cube, ... de cette série par la règle du